Theorem cos01bnd 13921

Description: Bounds on the cosine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cos01bnd

Proof of Theorem cos01bnd

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 9661	. . . . . . . . 9
2		1re 9616	. . . . . . . . 9
3		elioc2 11616	. . . . . . . . 9
4	1, 2, 3	mp2an 672	. . . . . . . 8
5	4	simp1bi 1011	. . . . . . 7
6		eqid 2457	. . . . . . . 8
7	6	recos4p 13874	. . . . . . 7
8	5, 7	syl 16	. . . . . 6
9	8	eqcomd 2465	. . . . 5
10	5	recoscld 13879	. . . . . . 7
11	10	recnd 9643	. . . . . 6
12	5	resqcld 12336	. . . . . . . . 9
13	12	rehalfcld 10810	. . . . . . . 8
14		resubcl 9906	. . . . . . . 8
15	2, 13, 14	sylancr 663	. . . . . . 7
16	15	recnd 9643	. . . . . 6
17		ax-icn 9572	. . . . . . . . . 10
18	5	recnd 9643	. . . . . . . . . 10
19		mulcl 9597	. . . . . . . . . 10
20	17, 18, 19	sylancr 663	. . . . . . . . 9
21		4nn0 10839	. . . . . . . . 9
22	6	eftlcl 13842	. . . . . . . . 9
23	20, 21, 22	sylancl 662	. . . . . . . 8
24	23	recld 13027	. . . . . . 7
25	24	recnd 9643	. . . . . 6
26	11, 16, 25	subaddd 9972	. . . . 5
27	9, 26	mpbird 232	. . . 4
28	27	fveq2d 5875	. . 3
29	25	abscld 13267	. . . 4
30	23	abscld 13267	. . . 4
31		6nn 10722	. . . . 5
32		nndivre 10596	. . . . 5
33	12, 31, 32	sylancl 662	. . . 4
34		absrele 13141	. . . . 5
35	23, 34	syl 16	. . . 4
36		reexpcl 12183	. . . . . . 7
37	5, 21, 36	sylancl 662	. . . . . 6
38		nndivre 10596	. . . . . 6
39	37, 31, 38	sylancl 662	. . . . 5
40	6	ef01bndlem 13919	. . . . 5
41		2nn0 10837	. . . . . . . 8
42	41	a1i 11	. . . . . . 7
43		4z 10923	. . . . . . . . 9
44		2re 10630	. . . . . . . . . 10
45		4re 10637	. . . . . . . . . 10
46		2lt4 10731	. . . . . . . . . 10
47	44, 45, 46	ltleii 9728	. . . . . . . . 9
48		2z 10921	. . . . . . . . . 10
49	48	eluz1i 11117	. . . . . . . . 9
50	43, 47, 49	mpbir2an 920	. . . . . . . 8
51	50	a1i 11	. . . . . . 7
52	4	simp2bi 1012	. . . . . . . 8
53		0re 9617	. . . . . . . . 9
54		ltle 9694	. . . . . . . . 9
55	53, 5, 54	sylancr 663	. . . . . . . 8
56	52, 55	mpd 15	. . . . . . 7
57	4	simp3bi 1013	. . . . . . 7
58	5, 42, 51, 56, 57	leexp2rd 12343	. . . . . 6
59		6re 10641	. . . . . . . 8
60	59	a1i 11	. . . . . . 7
61		6pos 10659	. . . . . . . 8
62	61	a1i 11	. . . . . . 7
63		lediv1 10432	. . . . . . 7
64	37, 12, 60, 62, 63	syl112anc 1232	. . . . . 6
65	58, 64	mpbid 210	. . . . 5
66	30, 39, 33, 40, 65	ltletrd 9763	. . . 4
67	29, 30, 33, 35, 66	lelttrd 9761	. . 3
68	28, 67	eqbrtrd 4472	. 2
69	10, 15, 33	absdifltd 13265	. . 3
70		1cnd 9633	. . . . . . 7
71	13	recnd 9643	. . . . . . 7
72	33	recnd 9643	. . . . . . 7
73	70, 71, 72	subsub4d 9985	. . . . . 6
74		halfpm6th 10785	. . . . . . . . . . 11
75	74	simpri 462	. . . . . . . . . 10
76	75	oveq2i 6307	. . . . . . . . 9
77	12	recnd 9643	. . . . . . . . . 10
78		2cn 10631	. . . . . . . . . . . 12
79		2ne0 10653	. . . . . . . . . . . 12
80	78, 79	reccli 10299	. . . . . . . . . . 11
81		6cn 10642	. . . . . . . . . . . 12
82	31	nnne0i 10595	. . . . . . . . . . . 12
83	81, 82	reccli 10299	. . . . . . . . . . 11
84		adddi 9602	. . . . . . . . . . 11
85	80, 83, 84	mp3an23 1316	. . . . . . . . . 10
86	77, 85	syl 16	. . . . . . . . 9
87	76, 86	syl5eqr 2512	. . . . . . . 8
88		3cn 10635	. . . . . . . . . . 11
89		3ne0 10655	. . . . . . . . . . 11
90	88, 89	pm3.2i 455	. . . . . . . . . 10
91		div12 10254	. . . . . . . . . 10
92	78, 90, 91	mp3an13 1315	. . . . . . . . 9
93	77, 92	syl 16	. . . . . . . 8
94		divrec 10248	. . . . . . . . . . 11
95	78, 79, 94	mp3an23 1316	. . . . . . . . . 10
96	77, 95	syl 16	. . . . . . . . 9
97		divrec 10248	. . . . . . . . . . 11
98	81, 82, 97	mp3an23 1316	. . . . . . . . . 10
99	77, 98	syl 16	. . . . . . . . 9
100	96, 99	oveq12d 6314	. . . . . . . 8
101	87, 93, 100	3eqtr4rd 2509	. . . . . . 7
102	101	oveq2d 6312	. . . . . 6
103	73, 102	eqtrd 2498	. . . . 5
104	103	breq1d 4462	. . . 4
105	70, 71, 72	subsubd 9982	. . . . . 6
106	74	simpli 458	. . . . . . . . . 10
107	106	oveq2i 6307	. . . . . . . . 9
108		subdi 10015	. . . . . . . . . . 11
109	80, 83, 108	mp3an23 1316	. . . . . . . . . 10
110	77, 109	syl 16	. . . . . . . . 9
111	107, 110	syl5eqr 2512	. . . . . . . 8
112		divrec 10248	. . . . . . . . . 10
113	88, 89, 112	mp3an23 1316	. . . . . . . . 9
114	77, 113	syl 16	. . . . . . . 8
115	96, 99	oveq12d 6314	. . . . . . . 8
116	111, 114, 115	3eqtr4rd 2509	. . . . . . 7
117	116	oveq2d 6312	. . . . . 6
118	105, 117	eqtr3d 2500	. . . . 5
119	118	breq2d 4464	. . . 4
120	104, 119	anbi12d 710	. . 3
121	69, 120	bitrd 253	. 2
122	68, 121	mpbid 210	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  ci 9515  caddc 9516  cmul 9518  cxr 9648  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  cdiv 10231  cn 10561  2c2 10610  3c3 10611  4c4 10612  6c6 10614  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  cioc 11559  cexp 12166  cfa 12353  cre 12930  cabs 13067  sum_csu 13508  ccos 13800

This theorem is referenced by:  cos1bnd  13922  cos01gt0  13926  tangtx  22898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ioc 11563  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509  df-ef 13803  df-cos 13806