MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos01bnd Unicode version

Theorem cos01bnd 13921
Description: Bounds on the cosine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
cos01bnd

Proof of Theorem cos01bnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 9661 . . . . . . . . 9
2 1re 9616 . . . . . . . . 9
3 elioc2 11616 . . . . . . . . 9
41, 2, 3mp2an 672 . . . . . . . 8
54simp1bi 1011 . . . . . . 7
6 eqid 2457 . . . . . . . 8
76recos4p 13874 . . . . . . 7
85, 7syl 16 . . . . . 6
98eqcomd 2465 . . . . 5
105recoscld 13879 . . . . . . 7
1110recnd 9643 . . . . . 6
125resqcld 12336 . . . . . . . . 9
1312rehalfcld 10810 . . . . . . . 8
14 resubcl 9906 . . . . . . . 8
152, 13, 14sylancr 663 . . . . . . 7
1615recnd 9643 . . . . . 6
17 ax-icn 9572 . . . . . . . . . 10
185recnd 9643 . . . . . . . . . 10
19 mulcl 9597 . . . . . . . . . 10
2017, 18, 19sylancr 663 . . . . . . . . 9
21 4nn0 10839 . . . . . . . . 9
226eftlcl 13842 . . . . . . . . 9
2320, 21, 22sylancl 662 . . . . . . . 8
2423recld 13027 . . . . . . 7
2524recnd 9643 . . . . . 6
2611, 16, 25subaddd 9972 . . . . 5
279, 26mpbird 232 . . . 4
2827fveq2d 5875 . . 3
2925abscld 13267 . . . 4
3023abscld 13267 . . . 4
31 6nn 10722 . . . . 5
32 nndivre 10596 . . . . 5
3312, 31, 32sylancl 662 . . . 4
34 absrele 13141 . . . . 5
3523, 34syl 16 . . . 4
36 reexpcl 12183 . . . . . . 7
375, 21, 36sylancl 662 . . . . . 6
38 nndivre 10596 . . . . . 6
3937, 31, 38sylancl 662 . . . . 5
406ef01bndlem 13919 . . . . 5
41 2nn0 10837 . . . . . . . 8
4241a1i 11 . . . . . . 7
43 4z 10923 . . . . . . . . 9
44 2re 10630 . . . . . . . . . 10
45 4re 10637 . . . . . . . . . 10
46 2lt4 10731 . . . . . . . . . 10
4744, 45, 46ltleii 9728 . . . . . . . . 9
48 2z 10921 . . . . . . . . . 10
4948eluz1i 11117 . . . . . . . . 9
5043, 47, 49mpbir2an 920 . . . . . . . 8
5150a1i 11 . . . . . . 7
524simp2bi 1012 . . . . . . . 8
53 0re 9617 . . . . . . . . 9
54 ltle 9694 . . . . . . . . 9
5553, 5, 54sylancr 663 . . . . . . . 8
5652, 55mpd 15 . . . . . . 7
574simp3bi 1013 . . . . . . 7
585, 42, 51, 56, 57leexp2rd 12343 . . . . . 6
59 6re 10641 . . . . . . . 8
6059a1i 11 . . . . . . 7
61 6pos 10659 . . . . . . . 8
6261a1i 11 . . . . . . 7
63 lediv1 10432 . . . . . . 7
6437, 12, 60, 62, 63syl112anc 1232 . . . . . 6
6558, 64mpbid 210 . . . . 5
6630, 39, 33, 40, 65ltletrd 9763 . . . 4
6729, 30, 33, 35, 66lelttrd 9761 . . 3
6828, 67eqbrtrd 4472 . 2
6910, 15, 33absdifltd 13265 . . 3
70 1cnd 9633 . . . . . . 7
7113recnd 9643 . . . . . . 7
7233recnd 9643 . . . . . . 7
7370, 71, 72subsub4d 9985 . . . . . 6
74 halfpm6th 10785 . . . . . . . . . . 11
7574simpri 462 . . . . . . . . . 10
7675oveq2i 6307 . . . . . . . . 9
7712recnd 9643 . . . . . . . . . 10
78 2cn 10631 . . . . . . . . . . . 12
79 2ne0 10653 . . . . . . . . . . . 12
8078, 79reccli 10299 . . . . . . . . . . 11
81 6cn 10642 . . . . . . . . . . . 12
8231nnne0i 10595 . . . . . . . . . . . 12
8381, 82reccli 10299 . . . . . . . . . . 11
84 adddi 9602 . . . . . . . . . . 11
8580, 83, 84mp3an23 1316 . . . . . . . . . 10
8677, 85syl 16 . . . . . . . . 9
8776, 86syl5eqr 2512 . . . . . . . 8
88 3cn 10635 . . . . . . . . . . 11
89 3ne0 10655 . . . . . . . . . . 11
9088, 89pm3.2i 455 . . . . . . . . . 10
91 div12 10254 . . . . . . . . . 10
9278, 90, 91mp3an13 1315 . . . . . . . . 9
9377, 92syl 16 . . . . . . . 8
94 divrec 10248 . . . . . . . . . . 11
9578, 79, 94mp3an23 1316 . . . . . . . . . 10
9677, 95syl 16 . . . . . . . . 9
97 divrec 10248 . . . . . . . . . . 11
9881, 82, 97mp3an23 1316 . . . . . . . . . 10
9977, 98syl 16 . . . . . . . . 9
10096, 99oveq12d 6314 . . . . . . . 8
10187, 93, 1003eqtr4rd 2509 . . . . . . 7
102101oveq2d 6312 . . . . . 6
10373, 102eqtrd 2498 . . . . 5
104103breq1d 4462 . . . 4
10570, 71, 72subsubd 9982 . . . . . 6
10674simpli 458 . . . . . . . . . 10
107106oveq2i 6307 . . . . . . . . 9
108 subdi 10015 . . . . . . . . . . 11
10980, 83, 108mp3an23 1316 . . . . . . . . . 10
11077, 109syl 16 . . . . . . . . 9
111107, 110syl5eqr 2512 . . . . . . . 8
112 divrec 10248 . . . . . . . . . 10
11388, 89, 112mp3an23 1316 . . . . . . . . 9
11477, 113syl 16 . . . . . . . 8
11596, 99oveq12d 6314 . . . . . . . 8
116111, 114, 1153eqtr4rd 2509 . . . . . . 7
117116oveq2d 6312 . . . . . 6
118105, 117eqtr3d 2500 . . . . 5
119118breq2d 4464 . . . 4
120104, 119anbi12d 710 . . 3
12169, 120bitrd 253 . 2
12268, 121mpbid 210 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610  3c3 10611  4c4 10612  6c6 10614   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cioc 11559   cexp 12166   cfa 12353   cre 12930   cabs 13067  sum_csu 13508   ccos 13800
This theorem is referenced by:  cos1bnd  13922  cos01gt0  13926  tangtx  22898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ioc 11563  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509  df-ef 13803  df-cos 13806
  Copyright terms: Public domain W3C validator