MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos01gt0 Unicode version

Theorem cos01gt0 13926
Description: The cosine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos01gt0

Proof of Theorem cos01gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 9661 . . . . . . . . . 10
2 1re 9616 . . . . . . . . . 10
3 elioc2 11616 . . . . . . . . . 10
41, 2, 3mp2an 672 . . . . . . . . 9
54simp1bi 1011 . . . . . . . 8
65resqcld 12336 . . . . . . 7
76recnd 9643 . . . . . 6
8 2cn 10631 . . . . . . 7
9 3cn 10635 . . . . . . . 8
10 3ne0 10655 . . . . . . . 8
119, 10pm3.2i 455 . . . . . . 7
12 div12 10254 . . . . . . 7
138, 11, 12mp3an13 1315 . . . . . 6
147, 13syl 16 . . . . 5
15 2z 10921 . . . . . . . . . 10
16 expgt0 12199 . . . . . . . . . 10
1715, 16mp3an2 1312 . . . . . . . . 9
18173adant3 1016 . . . . . . . 8
194, 18sylbi 195 . . . . . . 7
20 2lt3 10728 . . . . . . . . . 10
21 2re 10630 . . . . . . . . . . 11
22 3re 10634 . . . . . . . . . . 11
23 3pos 10654 . . . . . . . . . . 11
2421, 22, 22, 23ltdiv1ii 10500 . . . . . . . . . 10
2520, 24mpbi 208 . . . . . . . . 9
269, 10dividi 10302 . . . . . . . . 9
2725, 26breqtri 4475 . . . . . . . 8
2821, 22, 10redivcli 10336 . . . . . . . . 9
29 ltmul2 10418 . . . . . . . . 9
3028, 2, 29mp3an12 1314 . . . . . . . 8
3127, 30mpbii 211 . . . . . . 7
326, 19, 31syl2anc 661 . . . . . 6
337mulid1d 9634 . . . . . 6
3432, 33breqtrd 4476 . . . . 5
3514, 34eqbrtrd 4472 . . . 4
36 0re 9617 . . . . . . . . 9
37 ltle 9694 . . . . . . . . 9
3836, 37mpan 670 . . . . . . . 8
3938imdistani 690 . . . . . . 7
40 le2sq2 12243 . . . . . . . 8
412, 40mpanr1 683 . . . . . . 7
4239, 41stoic3 1609 . . . . . 6
434, 42sylbi 195 . . . . 5
44 sq1 12262 . . . . 5
4543, 44syl6breq 4491 . . . 4
46 redivcl 10288 . . . . . . . 8
4722, 10, 46mp3an23 1316 . . . . . . 7
486, 47syl 16 . . . . . 6
49 remulcl 9598 . . . . . 6
5021, 48, 49sylancr 663 . . . . 5
51 ltletr 9697 . . . . . 6
522, 51mp3an3 1313 . . . . 5
5350, 6, 52syl2anc 661 . . . 4
5435, 45, 53mp2and 679 . . 3
55 posdif 10070 . . . 4
5650, 2, 55sylancl 662 . . 3
5754, 56mpbid 210 . 2
58 cos01bnd 13921 . . 3
5958simpld 459 . 2
60 resubcl 9906 . . . 4
612, 50, 60sylancr 663 . . 3
625recoscld 13879 . . 3
63 lttr 9682 . . . 4
6436, 63mp3an1 1311 . . 3
6561, 62, 64syl2anc 661 . 2
6657, 59, 65mp2and 679 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231  2c2 10610  3c3 10611   cz 10889   cioc 11559   cexp 12166   ccos 13800
This theorem is referenced by:  sin02gt0  13927  sincos1sgn  13928  tangtx  22898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ioc 11563  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509  df-ef 13803  df-cos 13806
  Copyright terms: Public domain W3C validator