MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos2bnd Unicode version

Theorem cos2bnd 13923
Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2bnd

Proof of Theorem cos2bnd
StepHypRef Expression
1 7cn 10644 . . . . . 6
2 9cn 10648 . . . . . 6
3 9re 10647 . . . . . . 7
4 9pos 10662 . . . . . . 7
53, 4gt0ne0ii 10114 . . . . . 6
6 divneg 10264 . . . . . 6
71, 2, 5, 6mp3an 1324 . . . . 5
8 2cn 10631 . . . . . . 7
92, 5pm3.2i 455 . . . . . . 7
10 divsubdir 10265 . . . . . . 7
118, 2, 9, 10mp3an 1324 . . . . . 6
122, 8negsubdi2i 9929 . . . . . . . 8
13 7p2e9 10705 . . . . . . . . . 10
142, 8, 1subadd2i 9931 . . . . . . . . . 10
1513, 14mpbir 209 . . . . . . . . 9
1615negeqi 9836 . . . . . . . 8
1712, 16eqtr3i 2488 . . . . . . 7
1817oveq1i 6306 . . . . . 6
1911, 18eqtr3i 2488 . . . . 5
202, 5dividi 10302 . . . . . 6
2120oveq2i 6307 . . . . 5
227, 19, 213eqtr2ri 2493 . . . 4
23 ax-1cn 9571 . . . . . . . 8
248, 23, 2, 5divassi 10325 . . . . . . 7
25 2t1e2 10709 . . . . . . . 8
2625oveq1i 6306 . . . . . . 7
2724, 26eqtr3i 2488 . . . . . 6
28 3cn 10635 . . . . . . . . . 10
29 3ne0 10655 . . . . . . . . . 10
3023, 28, 29sqdivi 12252 . . . . . . . . 9
31 sq1 12262 . . . . . . . . . 10
32 sq3 12265 . . . . . . . . . 10
3331, 32oveq12i 6308 . . . . . . . . 9
3430, 33eqtri 2486 . . . . . . . 8
35 cos1bnd 13922 . . . . . . . . . 10
3635simpli 458 . . . . . . . . 9
37 0le1 10101 . . . . . . . . . . 11
38 3pos 10654 . . . . . . . . . . 11
39 1re 9616 . . . . . . . . . . . 12
40 3re 10634 . . . . . . . . . . . 12
4139, 40divge0i 10480 . . . . . . . . . . 11
4237, 38, 41mp2an 672 . . . . . . . . . 10
43 0re 9617 . . . . . . . . . . 11
44 recoscl 13876 . . . . . . . . . . . 12
4539, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
4640, 29rereccli 10334 . . . . . . . . . . . . 13
4743, 46, 45lelttri 9732 . . . . . . . . . . . 12
4842, 36, 47mp2an 672 . . . . . . . . . . 11
4943, 45, 48ltleii 9728 . . . . . . . . . 10
5046, 45lt2sqi 12256 . . . . . . . . . 10
5142, 49, 50mp2an 672 . . . . . . . . 9
5236, 51mpbi 208 . . . . . . . 8
5334, 52eqbrtrri 4473 . . . . . . 7
54 2pos 10652 . . . . . . . 8
553, 5rereccli 10334 . . . . . . . . 9
5645resqcli 12253 . . . . . . . . 9
57 2re 10630 . . . . . . . . 9
5855, 56, 57ltmul2i 10492 . . . . . . . 8
5954, 58ax-mp 5 . . . . . . 7
6053, 59mpbi 208 . . . . . 6
6127, 60eqbrtrri 4473 . . . . 5
6257, 3, 5redivcli 10336 . . . . . 6
6357, 56remulcli 9631 . . . . . 6
64 ltsub1 10073 . . . . . 6
6562, 63, 39, 64mp3an 1324 . . . . 5
6661, 65mpbi 208 . . . 4
6722, 66eqbrtrri 4473 . . 3
6825fveq2i 5874 . . . 4
69 cos2t 13913 . . . . 5
7023, 69ax-mp 5 . . . 4
7168, 70eqtr3i 2488 . . 3
7267, 71breqtrri 4477 . 2
7335simpri 462 . . . . . . . . 9
74 0le2 10651 . . . . . . . . . . 11
7557, 40divge0i 10480 . . . . . . . . . . 11
7674, 38, 75mp2an 672 . . . . . . . . . 10
7757, 40, 29redivcli 10336 . . . . . . . . . . 11
7845, 77lt2sqi 12256 . . . . . . . . . 10
7949, 76, 78mp2an 672 . . . . . . . . 9
8073, 79mpbi 208 . . . . . . . 8
818, 28, 29sqdivi 12252 . . . . . . . . 9
82 sq2 12264 . . . . . . . . . 10
8382, 32oveq12i 6308 . . . . . . . . 9
8481, 83eqtri 2486 . . . . . . . 8
8580, 84breqtri 4475 . . . . . . 7
86 4re 10637 . . . . . . . . . 10
8786, 3, 5redivcli 10336 . . . . . . . . 9
8856, 87, 57ltmul2i 10492 . . . . . . . 8
8954, 88ax-mp 5 . . . . . . 7
9085, 89mpbi 208 . . . . . 6
91 4cn 10638 . . . . . . . 8
928, 91, 2, 5divassi 10325 . . . . . . 7
93 4t2e8 10714 . . . . . . . . 9
9491, 8, 93mulcomli 9624 . . . . . . . 8
9594oveq1i 6306 . . . . . . 7
9692, 95eqtr3i 2488 . . . . . 6
9790, 96breqtri 4475 . . . . 5
98 8re 10645 . . . . . . 7
9998, 3, 5redivcli 10336 . . . . . 6
100 ltsub1 10073 . . . . . 6
10163, 99, 39, 100mp3an 1324 . . . . 5
10297, 101mpbi 208 . . . 4
10320oveq2i 6307 . . . . 5
104 divneg 10264 . . . . . . 7
10523, 2, 5, 104mp3an 1324 . . . . . 6
106 8cn 10646 . . . . . . . . 9
1072, 106negsubdi2i 9929 . . . . . . . 8
108 8p1e9 10691 . . . . . . . . . 10
1092, 106, 23, 108subaddrii 9932 . . . . . . . . 9
110109negeqi 9836 . . . . . . . 8
111107, 110eqtr3i 2488 . . . . . . 7
112111oveq1i 6306 . . . . . 6
113 divsubdir 10265 . . . . . . 7
114106, 2, 9, 113mp3an 1324 . . . . . 6
115105, 112, 1143eqtr2ri 2493 . . . . 5
116103, 115eqtr3i 2488 . . . 4
117102, 116breqtri 4475 . . 3
11871, 117eqbrtri 4471 . 2
11972, 118pm3.2i 455 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231  2c2 10610  3c3 10611  4c4 10612  7c7 10615  8c8 10616  9c9 10617   cexp 12166   ccos 13800
This theorem is referenced by:  sincos2sgn  13929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ioc 11563  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-bc 12381  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509  df-ef 13803  df-sin 13805  df-cos 13806
  Copyright terms: Public domain W3C validator