MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosadd Unicode version

Theorem cosadd 13900
Description: Addition formula for cosine. Equation 15 of [Gleason] p. 310. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
cosadd

Proof of Theorem cosadd
StepHypRef Expression
1 addcl 9595 . . 3
2 cosval 13858 . . 3
31, 2syl 16 . 2
4 coscl 13862 . . . . . . . 8
54adantr 465 . . . . . . 7
6 coscl 13862 . . . . . . . 8
76adantl 466 . . . . . . 7
85, 7mulcld 9637 . . . . . 6
9 ax-icn 9572 . . . . . . . 8
10 sincl 13861 . . . . . . . . 9
1110adantl 466 . . . . . . . 8
12 mulcl 9597 . . . . . . . 8
139, 11, 12sylancr 663 . . . . . . 7
14 sincl 13861 . . . . . . . . 9
1514adantr 465 . . . . . . . 8
16 mulcl 9597 . . . . . . . 8
179, 15, 16sylancr 663 . . . . . . 7
1813, 17mulcld 9637 . . . . . 6
198, 18addcld 9636 . . . . 5
205, 13mulcld 9637 . . . . . 6
217, 17mulcld 9637 . . . . . 6
2220, 21addcld 9636 . . . . 5
2319, 22, 19ppncand 9994 . . . 4
24 adddi 9602 . . . . . . . 8
259, 24mp3an1 1311 . . . . . . 7
2625fveq2d 5875 . . . . . 6
27 simpl 457 . . . . . . . 8
28 mulcl 9597 . . . . . . . 8
299, 27, 28sylancr 663 . . . . . . 7
30 simpr 461 . . . . . . . 8
31 mulcl 9597 . . . . . . . 8
329, 30, 31sylancr 663 . . . . . . 7
33 efadd 13829 . . . . . . 7
3429, 32, 33syl2anc 661 . . . . . 6
35 efival 13887 . . . . . . . 8
36 efival 13887 . . . . . . . 8
3735, 36oveqan12d 6315 . . . . . . 7
385, 17, 7, 13muladdd 10039 . . . . . . 7
3937, 38eqtrd 2498 . . . . . 6
4026, 34, 393eqtrd 2502 . . . . 5
41 negicn 9844 . . . . . . . 8
42 adddi 9602 . . . . . . . 8
4341, 42mp3an1 1311 . . . . . . 7
4443fveq2d 5875 . . . . . 6
45 mulcl 9597 . . . . . . . 8
4641, 27, 45sylancr 663 . . . . . . 7
47 mulcl 9597 . . . . . . . 8
4841, 30, 47sylancr 663 . . . . . . 7
49 efadd 13829 . . . . . . 7
5046, 48, 49syl2anc 661 . . . . . 6
51 efmival 13888 . . . . . . . 8
52 efmival 13888 . . . . . . . 8
5351, 52oveqan12d 6315 . . . . . . 7
545, 17, 7, 13mulsubd 10040 . . . . . . 7
5553, 54eqtrd 2498 . . . . . 6
5644, 50, 553eqtrd 2502 . . . . 5
5740, 56oveq12d 6314 . . . 4
58192timesd 10806 . . . 4
5923, 57, 583eqtr4d 2508 . . 3
6059oveq1d 6311 . 2
61 2cn 10631 . . . . 5
62 2ne0 10653 . . . . 5
63 divcan3 10256 . . . . 5
6461, 62, 63mp3an23 1316 . . . 4
6519, 64syl 16 . . 3
669a1i 11 . . . . . 6
6766, 11, 66, 15mul4d 9813 . . . . 5
68 ixi 10203 . . . . . . 7
6968oveq1i 6306 . . . . . 6
7011, 15mulcomd 9638 . . . . . . 7
7170oveq2d 6312 . . . . . 6
7269, 71syl5eq 2510 . . . . 5
7315, 11mulcld 9637 . . . . . 6
7473mulm1d 10033 . . . . 5
7567, 72, 743eqtrd 2502 . . . 4
7675oveq2d 6312 . . 3
778, 73negsubd 9960 . . 3
7865, 76, 773eqtrd 2502 . 2
793, 60, 783eqtrd 2502 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231  2c2 10610   ce 13797   csin 13799   ccos 13800
This theorem is referenced by:  tanaddlem  13901  tanadd  13902  cossub  13904  sinmul  13907  cosmul  13908  addcos  13909  subcos  13910  sincossq  13911  cos2t  13913  demoivreALT  13936  cosppi  22883  coshalfpip  22887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-bc 12381  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509  df-ef 13803  df-sin 13805  df-cos 13806
  Copyright terms: Public domain W3C validator