MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosne0 Unicode version

Theorem cosne0 22086
Description: The cosine function has no zeroes within the vertical strip of the complex plane between real part and . (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cosne0

Proof of Theorem cosne0
StepHypRef Expression
1 halfpire 22026 . . . . . 6
21recni 9483 . . . . 5
3 simpl 457 . . . . 5
4 nncan 9723 . . . . 5
52, 3, 4sylancr 663 . . . 4
65fveq2d 5777 . . 3
7 subcl 9694 . . . . 5
82, 3, 7sylancr 663 . . . 4
9 coshalfpim 22057 . . . 4
108, 9syl 16 . . 3
116, 10eqtr3d 2492 . 2
125adantr 465 . . . . . . . 8
13 picn 22022 . . . . . . . . . . . . 13
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
15 pire 22021 . . . . . . . . . . . . . 14
16 pipos 22023 . . . . . . . . . . . . . 14
1715, 16gt0ne0ii 9961 . . . . . . . . . . . . 13
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
198, 14, 18divcan1d 10193 . . . . . . . . . . 11
2019adantr 465 . . . . . . . . . 10
21 zre 10735 . . . . . . . . . . . 12
2221adantl 466 . . . . . . . . . . 11
23 remulcl 9452 . . . . . . . . . . 11
2422, 15, 23sylancl 662 . . . . . . . . . 10
2520, 24eqeltrrd 2537 . . . . . . . . 9
26 resubcl 9758 . . . . . . . . 9
271, 25, 26sylancr 663 . . . . . . . 8
2812, 27eqeltrrd 2537 . . . . . . 7
2928rered 12799 . . . . . 6
30 simplr 754 . . . . . 6
3129, 30eqeltrrd 2537 . . . . 5
32 0zd 10743 . . . . . 6
33 elioore 11415 . . . . . . . 8
34 resubcl 9758 . . . . . . . 8
351, 33, 34sylancr 663 . . . . . . 7
3615a1i 11 . . . . . . 7
37 eliooord 11440 . . . . . . . . 9
3837simprd 463 . . . . . . . 8
39 posdif 9917 . . . . . . . . 9
4033, 1, 39sylancl 662 . . . . . . . 8
4138, 40mpbid 210 . . . . . . 7
4216a1i 11 . . . . . . 7
4335, 36, 41, 42divgt0d 10353 . . . . . 6
441a1i 11 . . . . . . . . . 10
452negcli 9761 . . . . . . . . . . . 12
4613, 2negsubi 9771 . . . . . . . . . . . . 13
47 pidiv2halves 22029 . . . . . . . . . . . . . 14
4813, 2, 2, 47subaddrii 9782 . . . . . . . . . . . . 13
4946, 48eqtri 2478 . . . . . . . . . . . 12
502, 13, 45, 49subaddrii 9782 . . . . . . . . . . 11
5137simpld 459 . . . . . . . . . . 11
5250, 51syl5eqbr 4407 . . . . . . . . . 10
5344, 36, 33, 52ltsub23d 10029 . . . . . . . . 9
5413mulid1i 9473 . . . . . . . . 9
5553, 54syl6breqr 4414 . . . . . . . 8
56 1red 9486 . . . . . . . . 9
57 ltdivmul 10289 . . . . . . . . 9
5835, 56, 36, 42, 57syl112anc 1223 . . . . . . . 8
5955, 58mpbird 232 . . . . . . 7
60 1e0p1 10868 . . . . . . 7
6159, 60syl6breq 4413 . . . . . 6
62 btwnnz 10803 . . . . . 6
6332, 43, 61, 62syl3anc 1219 . . . . 5
6431, 63syl 16 . . . 4
6564pm2.01da 442 . . 3
66 sineq0 22083 . . . . 5
678, 66syl 16 . . . 4
6867necon3abid 2691 . . 3
6965, 68mpbird 232 . 2
7011, 69eqnetrd 2738 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1757  =/=wne 2641   class class class wbr 4374  `cfv 5500  (class class class)co 6174   cc 9365   cr 9366  0cc0 9367  1c1 9368   caddc 9370   cmul 9372   clt 9503   cmin 9680  -ucneg 9681   cdiv 10078  2c2 10456   cz 10731   cioo 11385   cre 12672   csin 13435   ccos 13436   cpi 13438
This theorem is referenced by:  tanord  22094  tanregt0  22095  atantan  22418  tan2h  28546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4485  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pow 4552  ax-pr 4613  ax-un 6456  ax-inf2 7932  ax-cnex 9423  ax-resscn 9424  ax-1cn 9425  ax-icn 9426  ax-addcl 9427  ax-addrcl 9428  ax-mulcl 9429  ax-mulrcl 9430  ax-mulcom 9431  ax-addass 9432  ax-mulass 9433  ax-distr 9434  ax-i2m1 9435  ax-1ne0 9436  ax-1rid 9437  ax-rnegex 9438  ax-rrecex 9439  ax-cnre 9440  ax-pre-lttri 9441  ax-pre-lttrn 9442  ax-pre-ltadd 9443  ax-pre-mulgt0 9444  ax-pre-sup 9445  ax-addf 9446  ax-mulf 9447
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-csb 3371  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-pss 3426  df-nul 3720  df-if 3874  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4174  df-int 4211  df-iun 4255  df-iin 4256  df-br 4375  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4468  df-eprel 4714  df-id 4718  df-po 4723  df-so 4724  df-fr 4761  df-se 4762  df-we 4763  df-ord 4804  df-on 4805  df-lim 4806  df-suc 4807  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-res 4934  df-ima 4935  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fn 5503  df-f 5504  df-f1 5505  df-fo 5506  df-f1o 5507  df-fv 5508  df-isom 5509  df-riota 6135  df-ov 6177  df-oprab 6178  df-mpt2 6179  df-of 6404  df-om 6561  df-1st 6661  df-2nd 6662  df-supp 6775  df-recs 6916  df-rdg 6950  df-1o 7004  df-2o 7005  df-oadd 7008  df-er 7185  df-map 7300  df-pm 7301  df-ixp 7348  df-en 7395  df-dom 7396  df-sdom 7397  df-fin 7398  df-fsupp 7706  df-fi 7746  df-sup 7776  df-oi 7809  df-card 8194  df-cda 8422  df-pnf 9505  df-mnf 9506  df-xr 9507  df-ltxr 9508  df-le 9509  df-sub 9682  df-neg 9683  df-div 10079  df-nn 10408  df-2 10465  df-3 10466  df-4 10467  df-5 10468  df-6 10469  df-7 10470  df-8 10471  df-9 10472  df-10 10473  df-n0 10665  df-z 10732  df-dec 10841  df-uz 10947  df-q 11039  df-rp 11077  df-xneg 11174  df-xadd 11175  df-xmul 11176  df-ioo 11389  df-ioc 11390  df-ico 11391  df-icc 11392  df-fz 11523  df-fzo 11634  df-fl 11727  df-mod 11794  df-seq 11892  df-exp 11951  df-fac 12137  df-bc 12164  df-hash 12189  df-shft 12642  df-cj 12674  df-re 12675  df-im 12676  df-sqr 12810  df-abs 12811  df-limsup 13035  df-clim 13052  df-rlim 13053  df-sum 13250  df-ef 13439  df-sin 13441  df-cos 13442  df-pi 13444  df-struct 14262  df-ndx 14263  df-slot 14264  df-base 14265  df-sets 14266  df-ress 14267  df-plusg 14337  df-mulr 14338  df-starv 14339  df-sca 14340  df-vsca 14341  df-ip 14342  df-tset 14343  df-ple 14344  df-ds 14346  df-unif 14347  df-hom 14348  df-cco 14349  df-rest 14447  df-topn 14448  df-0g 14466  df-gsum 14467  df-topgen 14468  df-pt 14469  df-prds 14472  df-xrs 14526  df-qtop 14531  df-imas 14532  df-xps 14534  df-mre 14610  df-mrc 14611  df-acs 14613  df-mnd 15501  df-submnd 15551  df-mulg 15634  df-cntz 15921  df-cmn 16367  df-psmet 17902  df-xmet 17903  df-met 17904  df-bl 17905  df-mopn 17906  df-fbas 17907  df-fg 17908  df-cnfld 17912  df-top 18603  df-bases 18605  df-topon 18606  df-topsp 18607  df-cld 18723  df-ntr 18724  df-cls 18725  df-nei 18802  df-lp 18840  df-perf 18841  df-cn 18931  df-cnp 18932  df-haus 19019  df-tx 19235  df-hmeo 19428  df-fil 19519  df-fm 19611  df-flim 19612  df-flf 19613  df-xms 19995  df-ms 19996  df-tms 19997  df-cncf 20554  df-limc 21441  df-dv 21442
  Copyright terms: Public domain W3C validator