Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cp Unicode version

Theorem cp 8330
 Description: Collection Principle. This remarkable theorem scheme is in effect a very strong generalization of the Axiom of Replacement. The proof makes use of Scott's trick scottex 8324 that collapses a proper class into a set of minimum rank. The wff can be thought of as (x, ). Scheme "Collection Principle" of [Jech] p. 72. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
cp
Distinct variable groups:   ,,   ,,,

Proof of Theorem cp
StepHypRef Expression
1 vex 3112 . . 3
21cplem2 8329 . 2
3 abn0 3804 . . . . 5
4 elin 3686 . . . . . . . 8
5 abid 2444 . . . . . . . . 9
65anbi1i 695 . . . . . . . 8
7 ancom 450 . . . . . . . 8
84, 6, 73bitri 271 . . . . . . 7
98exbii 1667 . . . . . 6
10 nfab1 2621 . . . . . . . 8
11 nfcv 2619 . . . . . . . 8
1210, 11nfin 3704 . . . . . . 7
1312n0f 3793 . . . . . 6
14 df-rex 2813 . . . . . 6
159, 13, 143bitr4i 277 . . . . 5
163, 15imbi12i 326 . . . 4
1716ralbii 2888 . . 3
1817exbii 1667 . 2
192, 18mpbi 208 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  i^icin 3474   c0 3784 This theorem is referenced by:  bnd  8331 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204
 Copyright terms: Public domain W3C validator