Theorem cp 8330

Description: Collection Principle. This remarkable theorem scheme is in effect a very strong generalization of the Axiom of Replacement. The proof makes use of Scott's trick scottex 8324 that collapses a proper class into a set of minimum rank. The wff can be thought of as (x,). Scheme "Collection Principle" of [Jech] p. 72. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
cp

Distinct variable groups:   ,,   ,,,

Proof of Theorem cp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3112	. . 3
2	1	cplem2 8329	. 2
3		abn0 3804	. . . . 5
4		elin 3686	. . . . . . . 8
5		abid 2444	. . . . . . . . 9
6	5	anbi1i 695	. . . . . . . 8
7		ancom 450	. . . . . . . 8
8	4, 6, 7	3bitri 271	. . . . . . 7
9	8	exbii 1667	. . . . . 6
10		nfab1 2621	. . . . . . . 8
11		nfcv 2619	. . . . . . . 8
12	10, 11	nfin 3704	. . . . . . 7
13	12	n0f 3793	. . . . . 6
14		df-rex 2813	. . . . . 6
15	9, 13, 14	3bitr4i 277	. . . . 5
16	3, 15	imbi12i 326	. . . 4
17	16	ralbii 2888	. . 3
18	17	exbii 1667	. 2
19	2, 18	mpbi 208	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  i^icin 3474  c0 3784

This theorem is referenced by:  bnd  8331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204