MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphipcl Unicode version

Theorem cphipcl 19205
Description: An inner product is a member of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmsq.v
nmsq.h
Assertion
Ref Expression
cphipcl

Proof of Theorem cphipcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5
2 eqid 2443 . . . . 5
31, 2cphsubrg 19194 . . . 4
4 cnfldbas 16758 . . . . 5
54subrgss 15920 . . . 4
63, 5syl 16 . . 3
763ad2ant1 979 . 2
8 cphphl 19185 . . 3
9 nmsq.h . . . 4
10 nmsq.v . . . 4
111, 9, 10, 2ipcl 16915 . . 3
128, 11syl3an1 1218 . 2
137, 12sseldd 3338 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  /\w3a 937  =wceq 1654  e.wcel 1728  C_wss 3309  `cfv 5501  (class class class)co 6129   cc 9039   cbs 13520   csca 13583   cip 13585   csubrg 15915   ccnfld 16754   cphl 16906   ccph 19180
This theorem is referenced by:  nmsq  19208  cphassr  19225  cph2ass  19226  ipcnlem2  19249  pjthlem1  19389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4354  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-cnex 9097  ax-resscn 9098  ax-1cn 9099  ax-icn 9100  ax-addcl 9101  ax-addrcl 9102  ax-mulcl 9103  ax-mulrcl 9104  ax-mulcom 9105  ax-addass 9106  ax-mulass 9107  ax-distr 9108  ax-i2m1 9109  ax-1ne0 9110  ax-1rid 9111  ax-rnegex 9112  ax-rrecex 9113  ax-cnre 9114  ax-pre-lttri 9115  ax-pre-lttrn 9116  ax-pre-ltadd 9117  ax-pre-mulgt0 9118  ax-addf 9120  ax-mulf 9121
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-lim 4627  df-suc 4628  df-om 4887  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-1st 6399  df-2nd 6400  df-tpos 6529  df-riota 6599  df-recs 6682  df-rdg 6717  df-1o 6773  df-oadd 6777  df-er 6954  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-fin 7162  df-pnf 9173  df-mnf 9174  df-xr 9175  df-ltxr 9176  df-le 9177  df-sub 9344  df-neg 9345  df-div 9729  df-nn 10052  df-2 10109  df-3 10110  df-4 10111  df-5 10112  df-6 10113  df-7 10114  df-8 10115  df-9 10116  df-10 10117  df-n0 10273  df-z 10334  df-dec 10434  df-uz 10540  df-fz 11095  df-seq 11375  df-exp 11434  df-struct 13522  df-ndx 13523  df-slot 13524  df-base 13525  df-sets 13526  df-ress 13527  df-plusg 13593  df-mulr 13594  df-starv 13595  df-sca 13596  df-vsca 13597  df-tset 13599  df-ple 13600  df-ds 13602  df-unif 13603  df-0g 13778  df-mnd 14741  df-grp 14863  df-subg 14992  df-ghm 15055  df-cmn 15465  df-mgp 15700  df-rng 15714  df-cring 15715  df-ur 15716  df-oppr 15779  df-dvdsr 15797  df-unit 15798  df-drng 15888  df-subrg 15917  df-lmhm 16149  df-lvec 16226  df-sra 16295  df-rgmod 16296  df-cnfld 16755  df-phl 16908  df-cph 19182
  Copyright terms: Public domain W3C validator