MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crre Unicode version

Theorem crre 12947
Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
crre

Proof of Theorem crre
StepHypRef Expression
1 recn 9603 . . . 4
2 ax-icn 9572 . . . . 5
3 recn 9603 . . . . 5
4 mulcl 9597 . . . . 5
52, 3, 4sylancr 663 . . . 4
6 addcl 9595 . . . 4
71, 5, 6syl2an 477 . . 3
8 reval 12939 . . 3
97, 8syl 16 . 2
10 cjcl 12938 . . . . . 6
117, 10syl 16 . . . . 5
127, 11addcld 9636 . . . 4
1312halfcld 10808 . . 3
141adantr 465 . . 3
15 recl 12943 . . . . . . 7
167, 15syl 16 . . . . . 6
179, 16eqeltrrd 2546 . . . . 5
18 simpl 457 . . . . 5
1917, 18resubcld 10012 . . . 4
202a1i 11 . . . . . . 7
213adantl 466 . . . . . . . 8
222, 21, 4sylancr 663 . . . . . . 7
237, 11subcld 9954 . . . . . . . 8
2423halfcld 10808 . . . . . . 7
2520, 22, 24subdid 10037 . . . . . 6
2614, 22, 14pnpcand 9991 . . . . . . . . . . . . . 14
2722, 14, 22pnpcan2d 9992 . . . . . . . . . . . . . 14
2826, 27eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . 13
2928oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
3014, 14addcld 9636 . . . . . . . . . . . . 13
317, 11, 30addsubd 9975 . . . . . . . . . . . 12
3222, 22addcld 9636 . . . . . . . . . . . . 13
3332, 7, 11subsubd 9982 . . . . . . . . . . . 12
3429, 31, 333eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . 11
35142timesd 10806 . . . . . . . . . . . 12
3635oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
37222timesd 10806 . . . . . . . . . . . 12
3837oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
3934, 36, 383eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10
4039oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
41 2cn 10631 . . . . . . . . . . 11
42 mulcl 9597 . . . . . . . . . . 11
4341, 14, 42sylancr 663 . . . . . . . . . 10
4441a1i 11 . . . . . . . . . 10
45 2ne0 10653 . . . . . . . . . . 11
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10
4712, 43, 44, 46divsubdird 10384 . . . . . . . . 9
48 mulcl 9597 . . . . . . . . . . 11
4941, 22, 48sylancr 663 . . . . . . . . . 10
5049, 23, 44, 46divsubdird 10384 . . . . . . . . 9
5140, 47, 503eqtr3d 2506 . . . . . . . 8
5214, 44, 46divcan3d 10350 . . . . . . . . 9
5352oveq2d 6312 . . . . . . . 8
5422, 44, 46divcan3d 10350 . . . . . . . . 9
5554oveq1d 6311 . . . . . . . 8
5651, 53, 553eqtr3d 2506 . . . . . . 7
5756oveq2d 6312 . . . . . 6
5820, 20, 21mulassd 9640 . . . . . . 7
5920, 23, 44, 46divassd 10380 . . . . . . 7
6058, 59oveq12d 6314 . . . . . 6
6125, 57, 603eqtr4d 2508 . . . . 5
62 ixi 10203 . . . . . . . 8
63 neg1rr 10665 . . . . . . . 8
6462, 63eqeltri 2541 . . . . . . 7
65 simpr 461 . . . . . . 7
66 remulcl 9598 . . . . . . 7
6764, 65, 66sylancr 663 . . . . . 6
68 cjth 12936 . . . . . . . . 9
6968simprd 463 . . . . . . . 8
707, 69syl 16 . . . . . . 7
7170rehalfcld 10810 . . . . . 6
7267, 71resubcld 10012 . . . . 5
7361, 72eqeltrd 2545 . . . 4
74 rimul 10552 . . . 4
7519, 73, 74syl2anc 661 . . 3
7613, 14, 75subeq0d 9962 . 2
779, 76eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231  2c2 10610   ccj 12929   cre 12930
This theorem is referenced by:  crim  12948  replim  12949  mulre  12954  recj  12957  reneg  12958  readd  12959  remullem  12961  rei  12989  crrei  13025  crred  13064  rennim  13072  absreimsq  13125  4sqlem4  14470  2sqlem2  23639  cnre2csqima  27893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-2 10619  df-cj 12932  df-re 12933
  Copyright terms: Public domain W3C validator