MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crreczi Unicode version

Theorem crreczi 12291
Description: Reciprocal of a complex number in terms of real and imaginary components. Remark in [Apostol] p. 361. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Proof shortened by Jeff Hankins, 16-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
crrecz.1
crrecz.2
Assertion
Ref Expression
crreczi

Proof of Theorem crreczi
StepHypRef Expression
1 crrecz.1 . . . . . . . 8
21recni 9629 . . . . . . 7
32sqcli 12248 . . . . . 6
4 ax-icn 9572 . . . . . . . 8
5 crrecz.2 . . . . . . . . 9
65recni 9629 . . . . . . . 8
74, 6mulcli 9622 . . . . . . 7
87sqcli 12248 . . . . . 6
93, 8negsubi 9920 . . . . 5
104, 6sqmuli 12251 . . . . . . . . 9
11 i2 12268 . . . . . . . . . 10
1211oveq1i 6306 . . . . . . . . 9
13 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . 10
146sqcli 12248 . . . . . . . . . 10
1513, 14mulneg1i 10027 . . . . . . . . 9
1610, 12, 153eqtri 2490 . . . . . . . 8
1716negeqi 9836 . . . . . . 7
1813, 14mulcli 9622 . . . . . . . 8
1918negnegi 9912 . . . . . . 7
2014mulid2i 9620 . . . . . . 7
2117, 19, 203eqtri 2490 . . . . . 6
2221oveq2i 6307 . . . . 5
232, 7subsqi 12279 . . . . 5
249, 22, 233eqtr3ri 2495 . . . 4
2524oveq1i 6306 . . 3
26 neorian 2784 . . . . 5
27 sumsqeq0 12246 . . . . . . 7
281, 5, 27mp2an 672 . . . . . 6
2928necon3bbii 2718 . . . . 5
3026, 29bitri 249 . . . 4
312, 7addcli 9621 . . . . 5
322, 7subcli 9918 . . . . 5
333, 14addcli 9621 . . . . 5
3431, 32, 33divasszi 10319 . . . 4
3530, 34sylbi 195 . . 3
36 divid 10259 . . . . 5
3733, 36mpan 670 . . . 4
3830, 37sylbi 195 . . 3
3925, 35, 383eqtr3a 2522 . 2
4032, 33divclzi 10304 . . . 4
4130, 40sylbi 195 . . 3
4231a1i 11 . . 3
43 crne0 10554 . . . . 5
441, 5, 43mp2an 672 . . . 4
4544biimpi 194 . . 3
46 divmul 10235 . . . 4
4713, 46mp3an1 1311 . . 3
4841, 42, 45, 47syl12anc 1226 . 2
4939, 48mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231  2c2 10610   cexp 12166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167
  Copyright terms: Public domain W3C validator