Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crt Unicode version

Theorem crt 14308
 Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps to its remainder classes M and N is 1-1 and onto when and are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
crt.1
crt.2
crt.3
crt.4
Assertion
Ref Expression
crt
Distinct variable groups:   ,M   ,   ,S   ,   ,N

Proof of Theorem crt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 11829 . . . . . 6
2 crt.1 . . . . . 6
31, 2eleq2s 2565 . . . . 5
4 simpr 461 . . . . . . . 8
5 crt.4 . . . . . . . . . 10
65simp1d 1008 . . . . . . . . 9
76adantr 465 . . . . . . . 8
8 zmodfzo 12018 . . . . . . . 8
94, 7, 8syl2anc 661 . . . . . . 7
105simp2d 1009 . . . . . . . . 9
1110adantr 465 . . . . . . . 8
12 zmodfzo 12018 . . . . . . . 8
134, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . 7
14 opelxpi 5036 . . . . . . 7
159, 13, 14syl2anc 661 . . . . . 6
16 crt.2 . . . . . 6
1715, 16syl6eleqr 2556 . . . . 5
183, 17sylan2 474 . . . 4
19 crt.3 . . . 4
2018, 19fmptd 6055 . . 3
21 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
22 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
2321, 22opeq12d 4225 . . . . . . . . 9
24 opex 4716 . . . . . . . . 9
2523, 19, 24fvmpt 5956 . . . . . . . 8
2625ad2antrl 727 . . . . . . 7
27 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
28 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
2927, 28opeq12d 4225 . . . . . . . . 9
30 opex 4716 . . . . . . . . 9
3129, 19, 30fvmpt 5956 . . . . . . . 8
3231ad2antll 728 . . . . . . 7
3326, 32eqeq12d 2479 . . . . . 6
34 ovex 6324 . . . . . . 7
35 ovex 6324 . . . . . . 7
3634, 35opth 4726 . . . . . 6
3733, 36syl6bb 261 . . . . 5
386adantr 465 . . . . . . . 8
3938nnzd 10993 . . . . . . 7
4010adantr 465 . . . . . . . 8
4140nnzd 10993 . . . . . . 7
42 simprl 756 . . . . . . . . . 10
4342, 2syl6eleq 2555 . . . . . . . . 9
44 elfzoelz 11829 . . . . . . . . 9
4543, 44syl 16 . . . . . . . 8
46 simprr 757 . . . . . . . . . 10
4746, 2syl6eleq 2555 . . . . . . . . 9
48 elfzoelz 11829 . . . . . . . . 9
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8
5045, 49zsubcld 10999 . . . . . . 7
515simp3d 1010 . . . . . . . 8
5251adantr 465 . . . . . . 7
53 coprmdvds2 14244 . . . . . . 7
5439, 41, 50, 52, 53syl31anc 1231 . . . . . 6
55 moddvds 13993 . . . . . . . 8
5638, 45, 49, 55syl3anc 1228 . . . . . . 7
57 moddvds 13993 . . . . . . . 8
5840, 45, 49, 57syl3anc 1228 . . . . . . 7
5956, 58anbi12d 710 . . . . . 6
6045zred 10994 . . . . . . . . 9
6138, 40nnmulcld 10608 . . . . . . . . . 10
6261nnrpd 11284 . . . . . . . . 9
63 elfzole1 11836 . . . . . . . . . 10
6443, 63syl 16 . . . . . . . . 9
65 elfzolt2 11837 . . . . . . . . . 10
6643, 65syl 16 . . . . . . . . 9
67 modid 12020 . . . . . . . . 9
6860, 62, 64, 66, 67syl22anc 1229 . . . . . . . 8
6949zred 10994 . . . . . . . . 9
70 elfzole1 11836 . . . . . . . . . 10
7147, 70syl 16 . . . . . . . . 9
72 elfzolt2 11837 . . . . . . . . . 10
7347, 72syl 16 . . . . . . . . 9
74 modid 12020 . . . . . . . . 9
7569, 62, 71, 73, 74syl22anc 1229 . . . . . . . 8
7668, 75eqeq12d 2479 . . . . . . 7
77 moddvds 13993 . . . . . . . 8
7861, 45, 49, 77syl3anc 1228 . . . . . . 7
7976, 78bitr3d 255 . . . . . 6
8054, 59, 793imtr4d 268 . . . . 5
8137, 80sylbid 215 . . . 4
8281ralrimivva 2878 . . 3
83 dff13 6166 . . 3
8420, 82, 83sylanbrc 664 . 2
85 nnnn0 10827 . . . . . 6
86 nnnn0 10827 . . . . . 6
87 nn0mulcl 10857 . . . . . . . . 9
88 hashfzo0 12488 . . . . . . . . 9
8987, 88syl 16 . . . . . . . 8
90 fzofi 12084 . . . . . . . . . 10
91 fzofi 12084 . . . . . . . . . 10
92 hashxp 12492 . . . . . . . . . 10
9390, 91, 92mp2an 672 . . . . . . . . 9
94 hashfzo0 12488 . . . . . . . . . 10
95 hashfzo0 12488 . . . . . . . . . 10
9694, 95oveqan12d 6315 . . . . . . . . 9
9793, 96syl5eq 2510 . . . . . . . 8
9889, 97eqtr4d 2501 . . . . . . 7
99 fzofi 12084 . . . . . . . 8
100 xpfi 7811 . . . . . . . . 9
10190, 91, 100mp2an 672 . . . . . . . 8
102 hashen 12420 . . . . . . . 8
10399, 101, 102mp2an 672 . . . . . . 7
10498, 103sylib 196 . . . . . 6
10585, 86, 104syl2an 477 . . . . 5
1066, 10, 105syl2anc 661 . . . 4
107106, 2, 163brtr4g 4484 . . 3
10816, 101eqeltri 2541 . . 3
109 f1finf1o 7766 . . 3
110107, 108, 109sylancl 662 . 2
11184, 110mpbid 210 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  <.cop 4035   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593  (class class class)co 6296   cen 7533   cfn 7536   cr 9512  0cc0 9513  1`c1 9514   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   crp 11249   cfzo 11824   cmo 11996   chash 12405   cdvds 13986   cgcd 14144 This theorem is referenced by:  phimullem  14309 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145
 Copyright terms: Public domain W3C validator