Theorem cru 10553

Description: The representation of complex numbers in terms of real and imaginary parts is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cru

Proof of Theorem cru

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrl 761	. . . . . . 7
2	1	recnd 9643	. . . . . 6
3		simplll 759	. . . . . . 7
4	3	recnd 9643	. . . . . 6
5		simpr 461	. . . . . . . 8
6		ax-icn 9572	. . . . . . . . . . 11
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10
8		simpllr 760	. . . . . . . . . . 11
9	8	recnd 9643	. . . . . . . . . 10
10	7, 9	mulcld 9637	. . . . . . . . 9
11		simplrr 762	. . . . . . . . . . 11
12	11	recnd 9643	. . . . . . . . . 10
13	7, 12	mulcld 9637	. . . . . . . . 9
14	4, 10, 2, 13	addsubeq4d 10005	. . . . . . . 8
15	5, 14	mpbid 210	. . . . . . 7
16	8, 11	resubcld 10012	. . . . . . . . . . 11
17	7, 9, 12	subdid 10037	. . . . . . . . . . . . 13
18	17, 15	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . . 12
19	1, 3	resubcld 10012	. . . . . . . . . . . 12
20	18, 19	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . 11
21		rimul 10552	. . . . . . . . . . 11
22	16, 20, 21	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
23	9, 12, 22	subeq0d 9962	. . . . . . . . 9
24	23	oveq2d 6312	. . . . . . . 8
25	24	oveq1d 6311	. . . . . . 7
26	13	subidd 9942	. . . . . . 7
27	15, 25, 26	3eqtrd 2502	. . . . . 6
28	2, 4, 27	subeq0d 9962	. . . . 5
29	28	eqcomd 2465	. . . 4
30	29, 23	jca 532	. . 3
31	30	ex 434	. 2
32		oveq2 6304	. . 3
33		oveq12 6305	. . 3
34	32, 33	sylan2 474	. 2
35	31, 34	impbid1 203	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  ci 9515  caddc 9516  cmul 9518  cmin 9828

This theorem is referenced by:  crne0  10554  creur  10555  creui  10556  cnref1o  11244  efieq  13898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232