Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cru Unicode version

Theorem cru 10553
 Description: The representation of complex numbers in terms of real and imaginary parts is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cru

Proof of Theorem cru
StepHypRef Expression
1 simplrl 761 . . . . . . 7
21recnd 9643 . . . . . 6
3 simplll 759 . . . . . . 7
43recnd 9643 . . . . . 6
5 simpr 461 . . . . . . . 8
6 ax-icn 9572 . . . . . . . . . . 11
76a1i 11 . . . . . . . . . 10
8 simpllr 760 . . . . . . . . . . 11
98recnd 9643 . . . . . . . . . 10
107, 9mulcld 9637 . . . . . . . . 9
11 simplrr 762 . . . . . . . . . . 11
1211recnd 9643 . . . . . . . . . 10
137, 12mulcld 9637 . . . . . . . . 9
144, 10, 2, 13addsubeq4d 10005 . . . . . . . 8
155, 14mpbid 210 . . . . . . 7
168, 11resubcld 10012 . . . . . . . . . . 11
177, 9, 12subdid 10037 . . . . . . . . . . . . 13
1817, 15eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . 12
191, 3resubcld 10012 . . . . . . . . . . . 12
2018, 19eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . 11
21 rimul 10552 . . . . . . . . . . 11
2216, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
239, 12, 22subeq0d 9962 . . . . . . . . 9
2423oveq2d 6312 . . . . . . . 8
2524oveq1d 6311 . . . . . . 7
2613subidd 9942 . . . . . . 7
2715, 25, 263eqtrd 2502 . . . . . 6
282, 4, 27subeq0d 9962 . . . . 5
2928eqcomd 2465 . . . 4
3029, 23jca 532 . . 3
3130ex 434 . 2
32 oveq2 6304 . . 3
33 oveq12 6305 . . 3
3432, 33sylan2 474 . 2
3531, 34impbid1 203 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828 This theorem is referenced by:  crne0  10554  creur  10555  creui  10556  cnref1o  11244  efieq  13898 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232
 Copyright terms: Public domain W3C validator