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Theorem cshweqrep 12789
Description: If cyclically shifting a word by L position results in the word itself, the symbol at any position is repeated at multiples of L (modulo the length of the word) positions in the word. (Contributed by AV, 13-May-2018.) (Revised by AV, 7-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshweqrep
Distinct variable groups:   ,I   ,   ,   ,

Proof of Theorem cshweqrep
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
21oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
32oveq1d 6311 . . . . . . . 8
43fveq2d 5875 . . . . . . 7
54eqeq2d 2471 . . . . . 6
65imbi2d 316 . . . . 5
7 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
87oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
98oveq1d 6311 . . . . . . . 8
109fveq2d 5875 . . . . . . 7
1110eqeq2d 2471 . . . . . 6
1211imbi2d 316 . . . . 5
13 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
1413oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
1514oveq1d 6311 . . . . . . . 8
1615fveq2d 5875 . . . . . . 7
1716eqeq2d 2471 . . . . . 6
1817imbi2d 316 . . . . 5
19 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
2019oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
2120oveq1d 6311 . . . . . . . 8
2221fveq2d 5875 . . . . . . 7
2322eqeq2d 2471 . . . . . 6
2423imbi2d 316 . . . . 5
25 zcn 10894 . . . . . . . . . . . . 13
2625mul02d 9799 . . . . . . . . . . . 12
2726adantl 466 . . . . . . . . . . 11
2827adantr 465 . . . . . . . . . 10
2928oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
30 elfzoelz 11829 . . . . . . . . . . . 12
3130zcnd 10995 . . . . . . . . . . 11
3231addid1d 9801 . . . . . . . . . 10
3332ad2antll 728 . . . . . . . . 9
3429, 33eqtrd 2498 . . . . . . . 8
3534oveq1d 6311 . . . . . . 7
36 zmodidfzoimp 12026 . . . . . . . 8
3736ad2antll 728 . . . . . . 7
3835, 37eqtr2d 2499 . . . . . 6
3938fveq2d 5875 . . . . 5
40 fveq1 5870 . . . . . . . . . . . . 13
4140eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . 12
4241ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11
4342adantl 466 . . . . . . . . . 10
44 simprll 763 . . . . . . . . . . 11
45 simprlr 764 . . . . . . . . . . 11
46 elfzo0 11863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
47 nn0z 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
49 nn0z 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
50 zmulcl 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5149, 50sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5251ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
53 zaddcl 10929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5448, 52, 53syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
55 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5654, 55jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5756ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
58573adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5946, 58sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6059adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6160expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6261com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15
6362adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
6463imp 429 . . . . . . . . . . . . 13
6564impcom 430 . . . . . . . . . . . 12
66 zmodfzo 12018 . . . . . . . . . . . 12
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11
68 cshwidxmod 12774 . . . . . . . . . . 11
6944, 45, 67, 68syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
70 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
71 zre 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
72 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
73 nnrp 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
74 remulcl 9598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7574ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
76 readdcl 9596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7775, 76sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7877ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
80 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
81 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
82 modaddmod 12035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8379, 80, 81, 82syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
84 recn 9603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8584adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8674recnd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8786ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8887adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
89 recn 9603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9089adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9190adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9285, 88, 91addassd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
93 recn 9603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9493adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
95 1cnd 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9694, 95, 90adddird 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9789mulid2d 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9998oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10096, 99eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
101100adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
102101oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
10392, 102eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
104103adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
105104oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
10683, 105eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
107106ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
10873, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
109108expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
110109com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
11171, 72, 110syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
112111com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11370, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114113imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1151143adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11646, 115sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117116expd 436 . . . . . . . . . . . . . . 15
118117adantld 467 . . . . . . . . . . . . . 14
119118adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
120119impcom 430 . . . . . . . . . . . 12
121120impcom 430 . . . . . . . . . . 11
122121fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10
12343, 69, 1223eqtrd 2502 . . . . . . . . 9
124123eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
125124biimpd 207 . . . . . . 7
126125ex 434 . . . . . 6
127126a2d 26 . . . . 5
1286, 12, 18, 24, 39, 127nn0ind 10984 . . . 4
129128com12 31 . . 3
130129ralrimiv 2869 . 2
131130ex 434 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   crp 11249   cfzo 11824   cmo 11996   chash 12405  Wordcword 12534   ccsh 12759
This theorem is referenced by:  cshw1  12790  cshwsidrepsw  14578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-hash 12406  df-word 12542  df-concat 12544  df-substr 12546  df-csh 12760
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