MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  curry2 Unicode version

Theorem curry2 6895
Description: Composition with turns any binary operation with a constant second operand into a function of the first operand only. This transformation is called "currying." (If this becomes frequently used, we can introduce a new notation for the hypothesis.) (Contributed by NM, 16-Dec-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
curry2.1
Assertion
Ref Expression
curry2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem curry2
StepHypRef Expression
1 fnfun 5683 . . . . 5
2 1stconst 6888 . . . . . 6
3 dff1o3 5827 . . . . . . 7
43simprbi 464 . . . . . 6
52, 4syl 16 . . . . 5
6 funco 5631 . . . . 5
71, 5, 6syl2an 477 . . . 4
8 dmco 5520 . . . . 5
9 fndm 5685 . . . . . . . 8
109adantr 465 . . . . . . 7
1110imaeq2d 5342 . . . . . 6
12 imacnvcnv 5477 . . . . . . . . 9
13 df-ima 5017 . . . . . . . . 9
14 resres 5291 . . . . . . . . . 10
1514rneqi 5234 . . . . . . . . 9
1612, 13, 153eqtri 2490 . . . . . . . 8
17 inxp 5140 . . . . . . . . . . . . 13
18 incom 3690 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 inv1 3812 . . . . . . . . . . . . . . 15
2018, 19eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . 14
2120xpeq1i 5024 . . . . . . . . . . . . 13
2217, 21eqtri 2486 . . . . . . . . . . . 12
23 snssi 4174 . . . . . . . . . . . . . 14
24 df-ss 3489 . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 24sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
2625xpeq2d 5028 . . . . . . . . . . . 12
2722, 26syl5eq 2510 . . . . . . . . . . 11
2827reseq2d 5278 . . . . . . . . . 10
2928rneqd 5235 . . . . . . . . 9
30 1stconst 6888 . . . . . . . . . 10
31 f1ofo 5828 . . . . . . . . . 10
32 forn 5803 . . . . . . . . . 10
3330, 31, 323syl 20 . . . . . . . . 9
3429, 33eqtrd 2498 . . . . . . . 8
3516, 34syl5eq 2510 . . . . . . 7
3635adantl 466 . . . . . 6
3711, 36eqtrd 2498 . . . . 5
388, 37syl5eq 2510 . . . 4
39 curry2.1 . . . . . 6
4039fneq1i 5680 . . . . 5
41 df-fn 5596 . . . . 5
4240, 41bitri 249 . . . 4
437, 38, 42sylanbrc 664 . . 3
44 dffn5 5918 . . 3
4543, 44sylib 196 . 2
4639fveq1i 5872 . . . . 5
47 dff1o4 5829 . . . . . . . . 9
482, 47sylib 196 . . . . . . . 8
4948simprd 463 . . . . . . 7
50 vex 3112 . . . . . . 7
51 fvco2 5948 . . . . . . 7
5249, 50, 51sylancl 662 . . . . . 6
5352ad2antlr 726 . . . . 5
5446, 53syl5eq 2510 . . . 4
552adantr 465 . . . . . . . . 9
5650a1i 11 . . . . . . . . . 10
57 snidg 4055 . . . . . . . . . . 11
5857adantr 465 . . . . . . . . . 10
59 opelxp 5034 . . . . . . . . . 10
6056, 58, 59sylanbrc 664 . . . . . . . . 9
6155, 60jca 532 . . . . . . . 8
6250a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
6362, 57, 59sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11
64 fvres 5885 . . . . . . . . . . 11
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . 10
6665adantr 465 . . . . . . . . 9
67 op1stg 6812 . . . . . . . . . 10
6867ancoms 453 . . . . . . . . 9
6966, 68eqtrd 2498 . . . . . . . 8
70 f1ocnvfv 6184 . . . . . . . 8
7161, 69, 70sylc 60 . . . . . . 7
7271fveq2d 5875 . . . . . 6
7372adantll 713 . . . . 5
74 df-ov 6299 . . . . 5
7573, 74syl6eqr 2516 . . . 4
7654, 75eqtrd 2498 . . 3
7776mpteq2dva 4538 . 2
7845, 77eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  {csn 4029  <.cop 4035  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  o.ccom 5008  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798
This theorem is referenced by:  curry2f  6896  curry2val  6897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-1st 6800  df-2nd 6801
  Copyright terms: Public domain W3C validator