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Theorem cvgcmpce 13632
Description: A comparison test for convergence of a complex infinite series. (Contributed by NM, 25-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmpce.1
cvgcmpce.2
cvgcmpce.3
cvgcmpce.4
cvgcmpce.5
cvgcmpce.6
cvgcmpce.7
Assertion
Ref Expression
cvgcmpce
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,N   ,   ,M   ,

Proof of Theorem cvgcmpce
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgcmpce.1 . 2
2 cvgcmpce.2 . . . . . 6
32, 1syl6eleq 2555 . . . . 5
4 eluzel2 11115 . . . . 5
53, 4syl 16 . . . 4
6 cvgcmpce.4 . . . 4
71, 5, 6serf 12135 . . 3
87ffvelrnda 6031 . 2
9 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
109oveq2d 6312 . . . . . . . 8
11 eqid 2457 . . . . . . . 8
12 ovex 6324 . . . . . . . 8
1310, 11, 12fvmpt 5956 . . . . . . 7
1413adantl 466 . . . . . 6
15 cvgcmpce.6 . . . . . . . 8
1615adantr 465 . . . . . . 7
17 cvgcmpce.3 . . . . . . 7
1816, 17remulcld 9645 . . . . . 6
1914, 18eqeltrd 2545 . . . . 5
20 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
2120fveq2d 5875 . . . . . . . 8
22 eqid 2457 . . . . . . . 8
23 fvex 5881 . . . . . . . 8
2421, 22, 23fvmpt 5956 . . . . . . 7
2524adantl 466 . . . . . 6
266abscld 13267 . . . . . 6
2725, 26eqeltrd 2545 . . . . 5
2815recnd 9643 . . . . . . 7
29 cvgcmpce.5 . . . . . . . 8
30 climdm 13377 . . . . . . . 8
3129, 30sylib 196 . . . . . . 7
3217recnd 9643 . . . . . . 7
331, 5, 28, 31, 32, 14isermulc2 13480 . . . . . 6
34 climrel 13315 . . . . . . 7
3534releldmi 5244 . . . . . 6
3633, 35syl 16 . . . . 5
371uztrn2 11127 . . . . . . 7
382, 37sylan 471 . . . . . 6
396absge0d 13275 . . . . . . 7
4039, 25breqtrrd 4478 . . . . . 6
4138, 40syldan 470 . . . . 5
42 cvgcmpce.7 . . . . . 6
4338, 24syl 16 . . . . . 6
4438, 13syl 16 . . . . . 6
4542, 43, 443brtr4d 4482 . . . . 5
461, 2, 19, 27, 36, 41, 45cvgcmp 13630 . . . 4
471climcau 13493 . . . 4
485, 46, 47syl2anc 661 . . 3
491, 5, 27serfre 12136 . . . . . . . . . . . . 13
5049ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
511uztrn2 11127 . . . . . . . . . . . . 13
5251adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
5350, 52ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . 11
54 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12
5550, 54ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . 11
5653, 55resubcld 10012 . . . . . . . . . 10
57 0red 9618 . . . . . . . . . . 11
587ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
5958, 52ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . . 13
6058, 54ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . . 13
6159, 60subcld 9954 . . . . . . . . . . . 12
6261abscld 13267 . . . . . . . . . . 11
6361absge0d 13275 . . . . . . . . . . 11
64 fzfid 12083 . . . . . . . . . . . . . 14
65 difss 3630 . . . . . . . . . . . . . 14
66 ssfi 7760 . . . . . . . . . . . . . 14
6764, 65, 66sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13
68 eldifi 3625 . . . . . . . . . . . . . 14
69 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 elfzuz 11713 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7170, 1syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . 15
7269, 71, 6syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14
7368, 72sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13
7467, 73fsumabs 13615 . . . . . . . . . . . 12
75 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7652, 1syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7775, 76, 72fsumser 13552 . . . . . . . . . . . . . . 15
78 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7954, 1syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . . . . 16
80 elfzuz 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8180, 1syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8269, 81, 6syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8378, 79, 82fsumser 13552 . . . . . . . . . . . . . . 15
8477, 83oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . 14
85 disjdif 3900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
87 undif2 3904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
88 fzss2 11752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8988ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
90 ssequn1 3673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9189, 90sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9287, 91syl5req 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9386, 92, 64, 72fsumsplit 13562 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9493eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15
9564, 72fsumcl 13555 . . . . . . . . . . . . . . . 16
96 fzfid 12083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9796, 82fsumcl 13555 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9867, 73fsumcl 13555 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9995, 97, 98subaddd 9972 . . . . . . . . . . . . . . 15
10094, 99mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14
10184, 100eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . 13
102101fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
10371adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104103, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
105 abscl 13111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
106105recnd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10772, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
108104, 76, 107fsumser 13552 . . . . . . . . . . . . . 14
10981adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110109, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
11182, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
112110, 79, 111fsumser 13552 . . . . . . . . . . . . . 14
113108, 112oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . 13
11486, 92, 64, 107fsumsplit 13562 . . . . . . . . . . . . . . 15
115114eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . 14
11664, 107fsumcl 13555 . . . . . . . . . . . . . . 15
11796, 111fsumcl 13555 . . . . . . . . . . . . . . 15
11873, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11967, 118fsumcl 13555 . . . . . . . . . . . . . . 15
120116, 117, 119subaddd 9972 . . . . . . . . . . . . . 14
121115, 120mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13
122113, 121eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . 12
12374, 102, 1223brtr4d 4482 . . . . . . . . . . 11
12457, 62, 56, 63, 123letrd 9760 . . . . . . . . . 10
12556, 124absidd 13254 . . . . . . . . 9
126125breq1d 4462 . . . . . . . 8
127 rpre 11255 . . . . . . . . . . 11
128127ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
129 lelttr 9696 . . . . . . . . . 10
13062, 56, 128, 129syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
131123, 130mpand 675 . . . . . . . 8
132126, 131sylbid 215 . . . . . . 7
133132anassrs 648 . . . . . 6
134133ralimdva 2865 . . . . 5
135134reximdva 2932 . . . 4
136135ralimdva 2865 . . 3
13748, 136mpd 15 . 2
138 seqex 12109 . . 3
139138a1i 11 . 2
1401, 8, 137, 139caucvg 13501 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cfz 11701  seqcseq 12107   cabs 13067   cli 13307  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  abscvgcvg  13633  geomulcvg  13685  cvgrat  13692  radcnvlem1  22808  radcnvlem2  22809  dvradcnv  22816  abelthlem5  22830  abelthlem7  22833  logtayllem  23040  binomcxplemnn0  31254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509
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