Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvgrat Unicode version

Theorem cvgrat 13692
 Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio of the absolute values of successive terms in an infinite sequence is less than 1 for all terms beyond some index , then the infinite sum of the terms of converges to a complex number. Equivalent to first part of Exercise 4 of [Gleason] p. 182. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgrat.1
cvgrat.2
cvgrat.3
cvgrat.4
cvgrat.5
cvgrat.6
cvgrat.7
Assertion
Ref Expression
cvgrat
Distinct variable groups:   ,   ,   ,M   ,N   ,   ,   ,

Proof of Theorem cvgrat
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgrat.2 . . 3
2 cvgrat.5 . . . . . . 7
3 cvgrat.1 . . . . . . 7
42, 3syl6eleq 2555 . . . . . 6
5 eluzelz 11119 . . . . . 6
64, 5syl 16 . . . . 5
7 uzid 11124 . . . . 5
86, 7syl 16 . . . 4
98, 1syl6eleqr 2556 . . 3
10 oveq1 6303 . . . . . . 7
1110oveq2d 6312 . . . . . 6
12 eqid 2457 . . . . . 6
13 ovex 6324 . . . . . 6
1411, 12, 13fvmpt 5956 . . . . 5
1514adantl 466 . . . 4
16 0re 9617 . . . . . . 7
17 cvgrat.3 . . . . . . 7
18 ifcl 3983 . . . . . . 7
1916, 17, 18sylancr 663 . . . . . 6
2019adantr 465 . . . . 5
21 simpr 461 . . . . . . 7
2221, 1syl6eleq 2555 . . . . . 6
23 uznn0sub 11141 . . . . . 6
2422, 23syl 16 . . . . 5
2520, 24reexpcld 12327 . . . 4
2615, 25eqeltrd 2545 . . 3
27 uzss 11130 . . . . . . 7
284, 27syl 16 . . . . . 6
2928, 1, 33sstr4g 3544 . . . . 5
3029sselda 3503 . . . 4
31 cvgrat.6 . . . 4
3230, 31syldan 470 . . 3
3323adantl 466 . . . . . . . 8
34 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
35 eqid 2457 . . . . . . . . 9
3634, 35, 13fvmpt 5956 . . . . . . . 8
3733, 36syl 16 . . . . . . 7
386zcnd 10995 . . . . . . . 8
39 eluzelz 11119 . . . . . . . . 9
4039zcnd 10995 . . . . . . . 8
41 nn0ex 10826 . . . . . . . . . 10
4241mptex 6143 . . . . . . . . 9
4342shftval 12907 . . . . . . . 8
4438, 40, 43syl2an 477 . . . . . . 7
45 simpr 461 . . . . . . . . 9
4645, 1syl6eleqr 2556 . . . . . . . 8
4746, 14syl 16 . . . . . . 7
4837, 44, 473eqtr4rd 2509 . . . . . 6
496, 48seqfeq 12132 . . . . 5
5042seqshft 12918 . . . . . 6
516, 6, 50syl2anc 661 . . . . 5
5238subidd 9942 . . . . . . 7
5352seqeq1d 12113 . . . . . 6
5453oveq1d 6311 . . . . 5
5549, 51, 543eqtrd 2502 . . . 4
5619recnd 9643 . . . . . . 7
57 max2 11417 . . . . . . . . . 10
5817, 16, 57sylancl 662 . . . . . . . . 9
5919, 58absidd 13254 . . . . . . . 8
60 0lt1 10100 . . . . . . . . 9
61 cvgrat.4 . . . . . . . . 9
62 breq1 4455 . . . . . . . . . 10
63 breq1 4455 . . . . . . . . . 10
6462, 63ifboth 3977 . . . . . . . . 9
6560, 61, 64sylancr 663 . . . . . . . 8
6659, 65eqbrtrd 4472 . . . . . . 7
67 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
68 ovex 6324 . . . . . . . . 9
6967, 35, 68fvmpt 5956 . . . . . . . 8
7069adantl 466 . . . . . . 7
7156, 66, 70geolim 13679 . . . . . 6
72 seqex 12109 . . . . . . 7
73 climshft 13399 . . . . . . 7
746, 72, 73sylancl 662 . . . . . 6
7571, 74mpbird 232 . . . . 5
76 ovex 6324 . . . . . 6
77 ovex 6324 . . . . . 6
7876, 77breldm 5212 . . . . 5
7975, 78syl 16 . . . 4
8055, 79eqeltrd 2545 . . 3
8131ralrimiva 2871 . . . . 5
82 fveq2 5871 . . . . . . 7
8382eleq1d 2526 . . . . . 6
8483rspcv 3206 . . . . 5
852, 81, 84sylc 60 . . . 4
8685abscld 13267 . . 3
87 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
8887fveq2d 5875 . . . . . . . 8
89 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
9089oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
9190oveq2d 6312 . . . . . . . 8
9288, 91breq12d 4465 . . . . . . 7
9392imbi2d 316 . . . . . 6
94 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
9594fveq2d 5875 . . . . . . . 8
9611oveq2d 6312 . . . . . . . 8
9795, 96breq12d 4465 . . . . . . 7
9897imbi2d 316 . . . . . 6
99 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
10099fveq2d 5875 . . . . . . . 8
101 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
102101oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
103102oveq2d 6312 . . . . . . . 8
104100, 103breq12d 4465 . . . . . . 7
105104imbi2d 316 . . . . . 6
10686leidd 10144 . . . . . . . 8
10752oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
10856exp0d 12304 . . . . . . . . . . 11
109107, 108eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
110109oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
11186recnd 9643 . . . . . . . . . 10
112111mulid1d 9634 . . . . . . . . 9
113110, 112eqtrd 2498 . . . . . . . 8
114106, 113breqtrrd 4478 . . . . . . 7
115114a1i 11 . . . . . 6
11632abscld 13267 . . . . . . . . . . . 12
11786adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
118117, 25remulcld 9645 . . . . . . . . . . . 12
11958adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
120 lemul2a 10422 . . . . . . . . . . . . 13
121120ex 434 . . . . . . . . . . . 12
122116, 118, 20, 119, 121syl112anc 1232 . . . . . . . . . . 11
12356adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
124111adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
12525recnd 9643 . . . . . . . . . . . . . 14
126123, 124, 125mul12d 9810 . . . . . . . . . . . . 13
127123, 24expp1d 12311 . . . . . . . . . . . . . . 15
12840, 1eleq2s 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130 addsub 9854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131129, 130mp3an2 1312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
132128, 38, 131syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133132oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15
134123, 125mulcomd 9638 . . . . . . . . . . . . . . 15
135127, 133, 1343eqtr4rd 2509 . . . . . . . . . . . . . 14
136135oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13
137126, 136eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
138137breq2d 4464 . . . . . . . . . . 11
139122, 138sylibd 214 . . . . . . . . . 10
1401peano2uzs 11164 . . . . . . . . . . . . . . 15
14129sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . 15
142140, 141sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14
143 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
144143eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
145144cbvralv 3084 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14681, 145sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15
147146adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
14899eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15
149148rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . 14
150142, 147, 149sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13
151150abscld 13267 . . . . . . . . . . . 12
15217adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
153152, 116remulcld 9645 . . . . . . . . . . . 12
15420, 116remulcld 9645 . . . . . . . . . . . 12
155 cvgrat.7 . . . . . . . . . . . 12
15632absge0d 13275 . . . . . . . . . . . . 13
157 max1 11415 . . . . . . . . . . . . . . 15
15817, 16, 157sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14
159158adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
160152, 20, 116, 156, 159lemul1ad 10510 . . . . . . . . . . . 12
161151, 153, 154, 155, 160letrd 9760 . . . . . . . . . . 11
162 peano2uz 11163 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16322, 162syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
164 uznn0sub 11141 . . . . . . . . . . . . . . 15
165163, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
16620, 165reexpcld 12327 . . . . . . . . . . . . 13
167117, 166remulcld 9645 . . . . . . . . . . . 12
168 letr 9699 . . . . . . . . . . . 12
169151, 154, 167, 168syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
170161, 169mpand 675 . . . . . . . . . 10
171139, 170syld 44 . . . . . . . . 9
17246, 171syldan 470 . . . . . . . 8
173172expcom 435 . . . . . . 7
174173a2d 26 . . . . . 6
17593, 98, 105, 98, 115, 174uzind4 11168 . . . . 5
176175impcom 430 . . . 4
17747oveq2d 6312 . . . 4
178176, 177breqtrrd 4478 . . 3
1791, 9, 26, 32, 80, 86, 178cvgcmpce 13632 . 2
1803, 2, 31iserex 13479 . 2
181179, 180mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110  seq`cseq 12107   cexp 12166   cshi 12899   cabs 13067   cli 13307 This theorem is referenced by:  efcllem  13813  cvgdvgrat  31194 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509
 Copyright terms: Public domain W3C validator