Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvxpcon Unicode version

Theorem cvxpcon 26834
Description: A convex subset of the complex numbers is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvxpcon.1
cvxpcon.2
cvxpcon.3
cvxpcon.4
Assertion
Ref Expression
cvxpcon
Distinct variable groups:   ,J   , , ,   , , ,   ,S, ,

Proof of Theorem cvxpcon
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvxpcon.4 . . 3
2 cvxpcon.3 . . . . 5
32cnfldtop 20063 . . . 4
4 cvxpcon.1 . . . . 5
5 cnex 9309 . . . . 5
6 ssexg 4413 . . . . 5
74, 5, 6sylancl 647 . . . 4
8 resttop 18468 . . . 4
93, 7, 8sylancr 648 . . 3
101, 9syl5eqel 2506 . 2
112dfii3 20159 . . . . . . . 8
122cnfldtopon 20062 . . . . . . . . 9
1312a1i 11 . . . . . . . 8
14 unitssre 11376 . . . . . . . . . 10
15 ax-resscn 9285 . . . . . . . . . 10
1614, 15sstri 3342 . . . . . . . . 9
1716a1i 11 . . . . . . . 8
1813cnmptid 18938 . . . . . . . . . 10
194adantr 455 . . . . . . . . . . . 12
20 simprr 741 . . . . . . . . . . . 12
2119, 20sseldd 3334 . . . . . . . . . . 11
2213, 13, 21cnmptc 18939 . . . . . . . . . 10
232mulcn 20143 . . . . . . . . . . 11
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10
2513, 18, 22, 24cnmpt12f 18943 . . . . . . . . 9
26 ax-1cn 9286 . . . . . . . . . . . . 13
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
2813, 13, 27cnmptc 18939 . . . . . . . . . . 11
292subcn 20142 . . . . . . . . . . . 12
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11
3113, 28, 18, 30cnmpt12f 18943 . . . . . . . . . 10
32 simprl 740 . . . . . . . . . . . 12
3319, 32sseldd 3334 . . . . . . . . . . 11
3413, 13, 33cnmptc 18939 . . . . . . . . . 10
3513, 31, 34, 24cnmpt12f 18943 . . . . . . . . 9
362addcn 20141 . . . . . . . . . 10
3736a1i 11 . . . . . . . . 9
3813, 25, 35, 37cnmpt12f 18943 . . . . . . . 8
3911, 13, 17, 38cnmpt1res 18953 . . . . . . 7
40 cvxpcon.2 . . . . . . . . . . . . 13
41403exp2 1190 . . . . . . . . . . . 12
4241com23 75 . . . . . . . . . . 11
4342imp42 581 . . . . . . . . . 10
44 eqid 2422 . . . . . . . . . 10
4543, 44fmptd 5837 . . . . . . . . 9
46 frn 5535 . . . . . . . . 9
4745, 46syl 16 . . . . . . . 8
48 cnrest2 18594 . . . . . . . 8
4913, 47, 19, 48syl3anc 1203 . . . . . . 7
5039, 49mpbid 204 . . . . . 6
511oveq2i 6072 . . . . . 6
5250, 51syl6eleqr 2513 . . . . 5
53 0elunit 11347 . . . . . . 7
54 oveq1 6068 . . . . . . . . 9
55 oveq2 6069 . . . . . . . . . . 11
56 1m0e1 10378 . . . . . . . . . . 11
5755, 56syl6eq 2470 . . . . . . . . . 10
5857oveq1d 6076 . . . . . . . . 9
5954, 58oveq12d 6079 . . . . . . . 8
60 ovex 6086 . . . . . . . 8
6159, 44, 60fvmpt 5744 . . . . . . 7
6253, 61ax-mp 5 . . . . . 6
6321mul02d 9513 . . . . . . . 8
6433mulid2d 9350 . . . . . . . 8
6563, 64oveq12d 6079 . . . . . . 7
6633addid2d 9516 . . . . . . 7
6765, 66eqtrd 2454 . . . . . 6
6862, 67syl5eq 2466 . . . . 5
69 1elunit 11348 . . . . . . 7
70 oveq1 6068 . . . . . . . . 9
71 oveq2 6069 . . . . . . . . . . 11
72 1m1e0 10336 . . . . . . . . . . 11
7371, 72syl6eq 2470 . . . . . . . . . 10
7473oveq1d 6076 . . . . . . . . 9
7570, 74oveq12d 6079 . . . . . . . 8
76 ovex 6086 . . . . . . . 8
7775, 44, 76fvmpt 5744 . . . . . . 7
7869, 77ax-mp 5 . . . . . 6
7921mulid2d 9350 . . . . . . . 8
8033mul02d 9513 . . . . . . . 8
8179, 80oveq12d 6079 . . . . . . 7
8221addid1d 9515 . . . . . . 7
8381, 82eqtrd 2454 . . . . . 6
8478, 83syl5eq 2466 . . . . 5
85 fveq1 5660 . . . . . . . 8
8685eqeq1d 2430 . . . . . . 7
87 fveq1 5660 . . . . . . . 8
8887eqeq1d 2430 . . . . . . 7
8986, 88anbi12d 695 . . . . . 6
9089rspcev 3051 . . . . 5
9152, 68, 84, 90syl12anc 1201 . . . 4
9291ralrimivva 2787 . . 3
93 resttopon 18469 . . . . . . 7
9412, 4, 93sylancr 648 . . . . . 6
951, 94syl5eqel 2506 . . . . 5
96 toponuni 18236 . . . . 5
9795, 96syl 16 . . . 4
9897raleqdv 2902 . . . 4
9997, 98raleqbidv 2910 . . 3
10092, 99mpbid 204 . 2
101 eqid 2422 . . 3
102101ispcon 26815 . 2
10310, 100, 102sylanbrc 649 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  A.wral 2694  E.wrex 2695   cvv 2951  C_wss 3305  U.cuni 4066  e.cmpt 4325  rancrn 4812  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cc 9226   cr 9227  0cc0 9228  1c1 9229   caddc 9231   cmul 9233   cmin 9541   cicc 11248   crest 14299   ctopn 14300   ccnfld 17528   ctop 18202   ctopon 18203   ccn 18532   ctx 18837   cii 20151   cpcon 26811
This theorem is referenced by:  cvxscon  26835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306  ax-addf 9307  ax-mulf 9308
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-iin 4149  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-2o 6882  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-fi 7608  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-cda 8284  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-xneg 11034  df-xadd 11035  df-xmul 11036  df-icc 11252  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-seq 11748  df-exp 11807  df-hash 12045  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-ress 14121  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-starv 14193  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-unif 14201  df-hom 14202  df-cco 14203  df-rest 14301  df-topn 14302  df-0g 14320  df-gsum 14321  df-topgen 14322  df-pt 14323  df-prds 14326  df-xrs 14380  df-qtop 14385  df-imas 14386  df-xps 14388  df-mre 14464  df-mrc 14465  df-acs 14467  df-mnd 15355  df-submnd 15405  df-mulg 15485  df-cntz 15772  df-cmn 16216  df-psmet 17519  df-xmet 17520  df-met 17521  df-bl 17522  df-mopn 17523  df-cnfld 17529  df-top 18207  df-bases 18209  df-topon 18210  df-topsp 18211  df-cn 18535  df-cnp 18536  df-tx 18839  df-hmeo 19032  df-xms 19595  df-ms 19596  df-tms 19597  df-ii 20153  df-pcon 26813
  Copyright terms: Public domain W3C validator