Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvxscon Unicode version

Theorem cvxscon 26835
Description: A convex subset of the complex numbers is simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvxpcon.1
cvxpcon.2
cvxpcon.3
cvxpcon.4
Assertion
Ref Expression
cvxscon
Distinct variable groups:   ,J   , , ,   , , ,   ,S, ,

Proof of Theorem cvxscon
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvxpcon.1 . . 3
2 cvxpcon.2 . . 3
3 cvxpcon.3 . . 3
4 cvxpcon.4 . . 3
51, 2, 3, 4cvxpcon 26834 . 2
6 simprl 740 . . . . 5
7 pcontop 26817 . . . . . . . . . 10
85, 7syl 16 . . . . . . . . 9
98adantr 455 . . . . . . . 8
10 eqid 2422 . . . . . . . . 9
1110toptopon 18242 . . . . . . . 8
129, 11sylib 190 . . . . . . 7
13 iiuni 20157 . . . . . . . . . 10
1413, 10cnf 18554 . . . . . . . . 9
156, 14syl 16 . . . . . . . 8
16 0elunit 11347 . . . . . . . 8
17 ffvelrn 5811 . . . . . . . 8
1815, 16, 17sylancl 647 . . . . . . 7
19 eqid 2422 . . . . . . . 8
2019pcoptcl 20293 . . . . . . 7
2112, 18, 20syl2anc 646 . . . . . 6
2221simp1d 985 . . . . 5
23 iitopon 20155 . . . . . . . . . . 11
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10
253dfii3 20159 . . . . . . . . . . . 12
263cnfldtopon 20062 . . . . . . . . . . . . 13
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
28 unitssre 11376 . . . . . . . . . . . . . 14
29 ax-resscn 9285 . . . . . . . . . . . . . 14
3028, 29sstri 3342 . . . . . . . . . . . . 13
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
3227, 27cnmpt2nd 18946 . . . . . . . . . . . 12
3325, 27, 31, 25, 27, 31, 32cnmpt2res 18954 . . . . . . . . . . 11
341adantr 455 . . . . . . . . . . . . 13
35 resttopon 18469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3626, 1, 35sylancr 648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
374, 36syl5eqel 2506 . . . . . . . . . . . . . . . 16
38 toponuni 18236 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039adantr 455 . . . . . . . . . . . . . 14
4118, 40eleqtrrd 2499 . . . . . . . . . . . . 13
4234, 41sseldd 3334 . . . . . . . . . . . 12
4324, 24, 27, 42cnmpt2c 18947 . . . . . . . . . . 11
443mulcn 20143 . . . . . . . . . . . 12
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11
4624, 24, 33, 43, 45cnmpt22f 18952 . . . . . . . . . 10
47 ax-1cn 9286 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
4927, 27, 27, 48cnmpt2c 18947 . . . . . . . . . . . . 13
503subcn 20142 . . . . . . . . . . . . . 14
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
5227, 27, 49, 32, 51cnmpt22f 18952 . . . . . . . . . . . 12
5325, 27, 31, 25, 27, 31, 52cnmpt2res 18954 . . . . . . . . . . 11
5424, 24cnmpt1st 18945 . . . . . . . . . . . 12
553cnfldtop 20063 . . . . . . . . . . . . . 14
56 cnrest2r 18595 . . . . . . . . . . . . . 14
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
584oveq2i 6072 . . . . . . . . . . . . . 14
596, 58syl6eleq 2512 . . . . . . . . . . . . 13
6057, 59sseldi 3331 . . . . . . . . . . . 12
6124, 24, 54, 60cnmpt21f 18949 . . . . . . . . . . 11
6224, 24, 53, 61, 45cnmpt22f 18952 . . . . . . . . . 10
633addcn 20141 . . . . . . . . . . 11
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10
6524, 24, 46, 62, 64cnmpt22f 18952 . . . . . . . . 9
6641adantr 455 . . . . . . . . . . . . . 14
6715adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16
68 simprl 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6967, 68ffvelrnd 5814 . . . . . . . . . . . . . . 15
7040adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . 15
7169, 70eleqtrrd 2499 . . . . . . . . . . . . . 14
7223exp2 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7372imp42 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7473an32s 787 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7574ralrimivva 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15
7675ad2ant2rl 733 . . . . . . . . . . . . . 14
77 oveq2 6069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7877oveq1d 6076 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7978eleq1d 2488 . . . . . . . . . . . . . . 15
80 oveq2 6069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8180oveq2d 6077 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281eleq1d 2488 . . . . . . . . . . . . . . 15
8379, 82rspc2va 3058 . . . . . . . . . . . . . 14
8466, 71, 76, 83syl21anc 1202 . . . . . . . . . . . . 13
8584ralrimivva 2787 . . . . . . . . . . . 12
86 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13
8786fmpt2 6610 . . . . . . . . . . . 12
8885, 87sylib 190 . . . . . . . . . . 11
89 frn 5535 . . . . . . . . . . 11
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . 10
91 cnrest2 18594 . . . . . . . . . 10
9227, 90, 34, 91syl3anc 1203 . . . . . . . . 9
9365, 92mpbid 204 . . . . . . . 8
944oveq2i 6072 . . . . . . . 8
9593, 94syl6eleqr 2513 . . . . . . 7
96 simpr 451 . . . . . . . . 9
97 simpr 451 . . . . . . . . . . . 12
9897oveq1d 6076 . . . . . . . . . . 11
9997oveq2d 6077 . . . . . . . . . . . . 13
100 1m0e1 10378 . . . . . . . . . . . . 13
10199, 100syl6eq 2470 . . . . . . . . . . . 12
102 simpl 447 . . . . . . . . . . . . 13
103102fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . 12
104101, 103oveq12d 6079 . . . . . . . . . . 11
10598, 104oveq12d 6079 . . . . . . . . . 10
106 ovex 6086 . . . . . . . . . 10
107105, 86, 106ovmpt2a 6191 . . . . . . . . 9
10896, 16, 107sylancl 647 . . . . . . . 8
10942adantr 455 . . . . . . . . . 10
110109mul02d 9513 . . . . . . . . 9
11126toponunii 18241 . . . . . . . . . . . . 13
11213, 111cnf 18554 . . . . . . . . . . . 12
11360, 112syl 16 . . . . . . . . . . 11
114113ffvelrnda 5813 . . . . . . . . . 10
115114mulid2d 9350 . . . . . . . . 9
116110, 115oveq12d 6079 . . . . . . . 8
117114addid2d 9516 . . . . . . . 8
118108, 116, 1173eqtrd 2458 . . . . . . 7
119 1elunit 11348 . . . . . . . . 9
120 simpr 451 . . . . . . . . . . . 12
121120oveq1d 6076 . . . . . . . . . . 11
122120oveq2d 6077 . . . . . . . . . . . . 13
123 1m1e0 10336 . . . . . . . . . . . . 13
124122, 123syl6eq 2470 . . . . . . . . . . . 12
125 simpl 447 . . . . . . . . . . . . 13
126125fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . 12
127124, 126oveq12d 6079 . . . . . . . . . . 11
128121, 127oveq12d 6079 . . . . . . . . . 10
129 ovex 6086 . . . . . . . . . 10
130128, 86, 129ovmpt2a 6191 . . . . . . . . 9
13196, 119, 130sylancl 647 . . . . . . . 8
132109mulid2d 9350 . . . . . . . . 9
133114mul02d 9513 . . . . . . . . 9
134132, 133oveq12d 6079 . . . . . . . 8
135109addid1d 9515 . . . . . . . . 9
136 fvex 5671 . . . . . . . . . . 11
137136fvconst2 5902 . . . . . . . . . 10
138137adantl 456 . . . . . . . . 9
139135, 138eqtr4d 2457 . . . . . . . 8
140131, 134, 1393eqtrd 2458 . . . . . . 7
141 simpr 451 . . . . . . . . . . . 12
142141oveq1d 6076 . . . . . . . . . . 11
143141oveq2d 6077 . . . . . . . . . . . 12
144 simpl 447 . . . . . . . . . . . . 13
145144fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . 12
146143, 145oveq12d 6079 . . . . . . . . . . 11
147142, 146oveq12d 6079 . . . . . . . . . 10
148 ovex 6086 . . . . . . . . . 10
149147, 86, 148ovmpt2a 6191 . . . . . . . . 9
15016, 96, 149sylancr 648 . . . . . . . 8
15130, 96sseldi 3331 . . . . . . . . . . 11
152 pncan3 9564 . . . . . . . . . . 11
153151, 47, 152sylancl 647 . . . . . . . . . 10
154153oveq1d 6076 . . . . . . . . 9
155 subcl 9555 . . . . . . . . . . 11
15647, 151, 155sylancr 648 . . . . . . . . . 10
157151, 156, 109adddird 9357 . . . . . . . . 9
158154, 157, 1323eqtr3d 2462 . . . . . . . 8
159150, 158eqtrd 2454 . . . . . . 7
160 simpr 451 . . . . . . . . . . . 12
161160oveq1d 6076 . . . . . . . . . . 11
162160oveq2d 6077 . . . . . . . . . . . 12
163 simpl 447 . . . . . . . . . . . . 13
164163fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . 12
165162, 164oveq12d 6079 . . . . . . . . . . 11
166161, 165oveq12d 6079 . . . . . . . . . 10
167 ovex 6086 . . . . . . . . . 10
168166, 86, 167ovmpt2a 6191 . . . . . . . . 9
169119, 96, 168sylancr 648 . . . . . . . 8
170 simplrr 745 . . . . . . . . . . 11
171170oveq2d 6077 . . . . . . . . . 10
172171oveq2d 6077 . . . . . . . . 9
173158, 172, 1703eqtr3d 2462 . . . . . . . 8
174169, 173eqtrd 2454 . . . . . . 7
1756, 22, 95, 118, 140, 159, 174isphtpy2d 20259 . . . . . 6
176 ne0i 3620 . . . . . 6
177175, 176syl 16 . . . . 5
178 isphtpc 20266 . . . . 5
1796, 22, 177, 178syl3anbrc 1157 . . . 4
180179expr 602 . . 3
181180ralrimiva 2778 . 2
182 isscon 26818 . 2
1835, 181, 182sylanbrc 649 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585  A.wral 2694  C_wss 3305   c0 3614  {csn 3853  U.cuni 4066   class class class wbr 4267  X.cxp 4809  rancrn 4812  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061  e.cmpt2 6063   cc 9226   cr 9227  0cc0 9228  1c1 9229   caddc 9231   cmul 9233   cmin 9541   cicc 11248   crest 14299   ctopn 14300   ccnfld 17528   ctop 18202   ctopon 18203   ccn 18532   ctx 18837   cii 20151   cphtpy 20240   cphtpc 20241   cpcon 26811   cscon 26812
This theorem is referenced by:  blscon  26836  rescon  26838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306  ax-addf 9307  ax-mulf 9308
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-iin 4149  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-2o 6882  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-fi 7608  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-cda 8284  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-xneg 11034  df-xadd 11035  df-xmul 11036  df-icc 11252  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-seq 11748  df-exp 11807  df-hash 12045  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-ress 14121  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-starv 14193  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-unif 14201  df-hom 14202  df-cco 14203  df-rest 14301  df-topn 14302  df-0g 14320  df-gsum 14321  df-topgen 14322  df-pt 14323  df-prds 14326  df-xrs 14380  df-qtop 14385  df-imas 14386  df-xps 14388  df-mre 14464  df-mrc 14465  df-acs 14467  df-mnd 15355  df-submnd 15405  df-mulg 15485  df-cntz 15772  df-cmn 16216  df-psmet 17519  df-xmet 17520  df-met 17521  df-bl 17522  df-mopn 17523  df-cnfld 17529  df-top 18207  df-bases 18209  df-topon 18210  df-topsp 18211  df-cn 18535  df-cnp 18536  df-tx 18839  df-hmeo 19032  df-xms 19595  df-ms 19596  df-tms 19597  df-ii 20153  df-htpy 20242  df-phtpy 20243  df-phtpc 20264  df-pcon 26813  df-scon 26814
  Copyright terms: Public domain W3C validator