Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasum2lem Unicode version

Theorem dchrvmasum2lem 22486
 Description: Give an expression for remarkably similar to sum_ ( ( ) ( ) ) given in dchrvmasumlem1 22485. Part of Lemma 9.4.3 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z
rpvmasum.l
rpvmasum.a
rpvmasum.g
rpvmasum.d
rpvmasum.1
dchrisum.b
dchrisum.n1
dchrvmasum.a
dchrvmasum2.2
Assertion
Ref Expression
dchrvmasum2lem
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,N   ,,   ,   ,   ,,   ,,

Proof of Theorem dchrvmasum2lem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5661 . . . . . . 7
21fveq2d 5665 . . . . . 6
3 id 21 . . . . . 6
42, 3oveq12d 6079 . . . . 5
5 oveq2 6069 . . . . . 6
65fveq2d 5665 . . . . 5
74, 6oveq12d 6079 . . . 4
87oveq2d 6077 . . 3
9 dchrvmasum.a . . . 4
109rpred 10972 . . 3
11 elrabi 3092 . . . . . . 7
1211ad2antll 713 . . . . . 6
13 mucl 22220 . . . . . 6
1412, 13syl 16 . . . . 5
1514zcnd 10693 . . . 4
16 rpvmasum.g . . . . . . . 8
17 rpvmasum.z . . . . . . . 8
18 rpvmasum.d . . . . . . . 8
19 rpvmasum.l . . . . . . . 8
20 dchrisum.b . . . . . . . . 9
2120adantr 455 . . . . . . . 8
22 elfzelz 11397 . . . . . . . . 9
2322adantl 456 . . . . . . . 8
2416, 17, 18, 19, 21, 23dchrzrhcl 22325 . . . . . . 7
25 elfznn 11422 . . . . . . . . 9
2625adantl 456 . . . . . . . 8
2726nncnd 10284 . . . . . . 7
2826nnne0d 10312 . . . . . . 7
2924, 27, 28divcld 10053 . . . . . 6
3025nnrpd 10971 . . . . . . . . 9
31 rpdivcl 10958 . . . . . . . . 9
329, 30, 31syl2an 467 . . . . . . . 8
3332relogcld 21813 . . . . . . 7
3433recnd 9358 . . . . . 6
3529, 34mulcld 9352 . . . . 5
3635adantrr 701 . . . 4
3715, 36mulcld 9352 . . 3
388, 10, 37dvdsflsumcom 22269 . 2
39 fveq2 5661 . . . . . . 7
4039fveq2d 5665 . . . . . 6
41 id 21 . . . . . 6
4240, 41oveq12d 6079 . . . . 5
43 oveq2 6069 . . . . . 6
4443fveq2d 5665 . . . . 5
4542, 44oveq12d 6079 . . . 4
46 fzfid 11736 . . . 4
4725ssriv 3337 . . . . 5
4847a1i 11 . . . 4
49 dchrvmasum2.2 . . . . . . 7
50 flge1nn 11608 . . . . . . 7
5110, 49, 50syl2anc 646 . . . . . 6
52 nnuz 10841 . . . . . 6
5351, 52syl6eleq 2512 . . . . 5
54 eluzfz1 11402 . . . . 5
5553, 54syl 16 . . . 4
5645, 46, 48, 55, 35musumsum 22273 . . 3
5716, 17, 18, 19, 20dchrzrh1 22324 . . . . . 6
5857oveq1d 6076 . . . . 5
59 1div1e1 9970 . . . . 5
6058, 59syl6eq 2470 . . . 4
619rpcnd 10974 . . . . . 6
6261div1d 10045 . . . . 5
6362fveq2d 5665 . . . 4
6460, 63oveq12d 6079 . . 3
659relogcld 21813 . . . . 5
6665recnd 9358 . . . 4
6766mulid2d 9350 . . 3
6856, 64, 673eqtrrd 2459 . 2
69 fzfid 11736 . . . . 5
7020adantr 455 . . . . . . 7
71 elfzelz 11397 . . . . . . . 8
7271adantl 456 . . . . . . 7
7316, 17, 18, 19, 70, 72dchrzrhcl 22325 . . . . . 6
74 fznnfl 11642 . . . . . . . . . . . 12
7510, 74syl 16 . . . . . . . . . . 11
7675simprbda 610 . . . . . . . . . 10
7776, 13syl 16 . . . . . . . . 9
7877zred 10692 . . . . . . . 8
7978, 76nndivred 10316 . . . . . . 7
8079recnd 9358 . . . . . 6
8173, 80mulcld 9352 . . . . 5
8220ad2antrr 710 . . . . . . 7
83 elfzelz 11397 . . . . . . . 8
8483adantl 456 . . . . . . 7
8516, 17, 18, 19, 82, 84dchrzrhcl 22325 . . . . . 6
86 elfznn 11422 . . . . . . . . . . . 12
8786nnrpd 10971 . . . . . . . . . . 11
88 rpdivcl 10958 . . . . . . . . . . 11
899, 87, 88syl2an 467 . . . . . . . . . 10
90 elfznn 11422 . . . . . . . . . . 11
9190nnrpd 10971 . . . . . . . . . 10
92 rpdivcl 10958 . . . . . . . . . 10
9389, 91, 92syl2an 467 . . . . . . . . 9
9493relogcld 21813 . . . . . . . 8
9590adantl 456 . . . . . . . 8
9694, 95nndivred 10316 . . . . . . 7
9796recnd 9358 . . . . . 6
9885, 97mulcld 9352 . . . . 5
9969, 81, 98fsummulc2 13191 . . . 4
10073adantr 455 . . . . . . . 8
10178adantr 455 . . . . . . . . 9
102101recnd 9358 . . . . . . . 8
10376nnrpd 10971 . . . . . . . . . 10
104103adantr 455 . . . . . . . . 9
105104rpcnne0d 10981 . . . . . . . 8
106 div12 9962 . . . . . . . 8
107100, 102, 105, 106syl3anc 1203 . . . . . . 7
10894recnd 9358 . . . . . . . 8
10995nnrpd 10971 . . . . . . . . 9
110109rpcnne0d 10981 . . . . . . . 8
111 div12 9962 . . . . . . . 8
11285, 108, 110, 111syl3anc 1203 . . . . . . 7
113107, 112oveq12d 6079 . . . . . 6
114104rpcnd 10974 . . . . . . . . . 10
115104rpne0d 10977 . . . . . . . . . 10
116100, 114, 115divcld 10053 . . . . . . . . 9
11795nncnd 10284 . . . . . . . . . 10
11895nnne0d 10312 . . . . . . . . . 10
11985, 117, 118divcld 10053 . . . . . . . . 9
120116, 119mulcld 9352 . . . . . . . 8
121102, 108, 120mulassd 9355 . . . . . . 7
122102, 116, 108, 119mul4d 9527 . . . . . . 7
12371ad2antlr 711 . . . . . . . . . . . . 13
12416, 17, 18, 19, 82, 123, 84dchrzrhmul 22326 . . . . . . . . . . . 12
125124oveq1d 6076 . . . . . . . . . . 11
126 divmuldiv 9977 . . . . . . . . . . . 12
127100, 85, 105, 110, 126syl22anc 1204 . . . . . . . . . . 11
128125, 127eqtr4d 2457 . . . . . . . . . 10
12961ad2antrr 710 . . . . . . . . . . . . 13
130 divdiv1 9988 . . . . . . . . . . . . 13
131129, 105, 110, 130syl3anc 1203 . . . . . . . . . . . 12
132131eqcomd 2427 . . . . . . . . . . 11
133132fveq2d 5665 . . . . . . . . . 10
134128, 133oveq12d 6079 . . . . . . . . 9
135120, 108mulcomd 9353 . . . . . . . . 9
136134, 135eqtrd 2454 . . . . . . . 8
137136oveq2d 6077 . . . . . . 7
138121, 122, 1373eqtr4d 2464 . . . . . 6
139113, 138eqtrd 2454 . . . . 5
140139sumeq2dv 13121 . . . 4
14199, 140eqtrd 2454 . . 3
142141sumeq2dv 13121 . 2
14338, 68, 1423eqtr4d 2464 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585  {crab 2698  C_wss 3305   class class class wbr 4267  cfv 5390  (class class class)co 6061   cc 9226   cr 9227  0cc0 9228  1c1 9229   cmul 9233   cle 9365   cdiv 9939   cn 10268   cz 10591   cuz 10806   crp 10936   cfz 11381   cfl 11581  sum_`csu 13104   cdivides 13475   cbs 14114   c0g 14318   czrh 17639   czn 17642   clog 21747   cmu 22173   cdchr 22312 This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  22487 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306  ax-addf 9307  ax-mulf 9308 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-fal 1356  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-iin 4149  df-disj 4238  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-tpos 6707  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-2o 6882  df-oadd 6885  df-er 7062  df-ec 7064  df-qs 7068  df-map 7177  df-pm 7178  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-fi 7608  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-cda 8284  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-xneg 11034  df-xadd 11035  df-xmul 11036  df-ioo 11249  df-ioc 11250  df-ico 11251  df-icc 11252  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-fl 11583  df-mod 11650  df-seq 11748  df-exp 11807  df-fac 11993  df-bc 12020  df-hash 12045  df-shft 12497  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-limsup 12890  df-clim 12907  df-rlim 12908  df-sum 13105  df-ef 13293  df-sin 13295  df-cos 13296  df-pi 13298  df-dvds 13476  df-gcd 13631  df-prm 13704  df-pc 13844  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-ress 14121  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-starv 14193  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-unif 14201  df-hom 14202  df-cco 14203  df-rest 14301  df-topn 14302  df-0g 14320  df-gsum 14321  df-topgen 14322  df-pt 14323  df-prds 14326  df-xrs 14380  df-qtop 14385  df-imas 14386  df-divs 14387  df-xps 14388  df-mre 14464  df-mrc 14465  df-acs 14467  df-mnd 15355  df-mhm 15404  df-submnd 15405  df-grp 15482  df-minusg 15483  df-sbg 15484  df-mulg 15485  df-subg 15615  df-nsg 15616  df-eqg 15617  df-ghm 15682  df-cntz 15772  df-cmn 16216  df-abl 16217  df-mgp 16458  df-rng 16472  df-cring 16473  df-ur 16474  df-oppr 16538  df-dvdsr 16556  df-unit 16557  df-rnghom 16629  df-subrg 16676  df-lmod 16763  df-lss 16823  df-lsp 16862  df-sra 17062  df-rgmod 17063  df-lidl 17064  df-rsp 17065  df-2idl 17123  df-psmet 17519  df-xmet 17520  df-met 17521  df-bl 17522  df-mopn 17523  df-fbas 17524  df-fg 17525  df-cnfld 17529  df-zring 17592  df-zrh 17643  df-zn 17646  df-top 18207  df-bases 18209  df-topon 18210  df-topsp 18211  df-cld 18327  df-ntr 18328  df-cls 18329  df-nei 18406  df-lp 18444  df-perf 18445  df-cn 18535  df-cnp 18536  df-haus 18623  df-tx 18839  df-hmeo 19032  df-fil 19123  df-fm 19215  df-flim 19216  df-flf 19217  df-xms 19595  df-ms 19596  df-tms 19597  df-cncf 20154  df-limc 21041  df-dv 21042  df-log 21749  df-mu 22179  df-dchr 22313
 Copyright terms: Public domain W3C validator