Theorem dcomex 8848

Description: The Axiom of Dependent Choice implies Infinity, the way we have stated it. Thus, we have Inf+AC implies DC and DC implies Inf, but AC does not imply Inf. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dcomex

Proof of Theorem dcomex

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 4693	. . 3
2		1on 7156	. . . . . . . . . 10
3	2	elexi 3119	. . . . . . . . 9
4	3, 3	fvsn 6104	. . . . . . . 8
5	3, 3	funsn 5641	. . . . . . . . 9
6	3	snid 4057	. . . . . . . . . 10
7	3	dmsnop 5487	. . . . . . . . . 10
8	6, 7	eleqtrri 2544	. . . . . . . . 9
9		funbrfvb 5915	. . . . . . . . 9
10	5, 8, 9	mp2an 672	. . . . . . . 8
11	4, 10	mpbi 208	. . . . . . 7
12		breq12 4457	. . . . . . . 8
13	3, 3, 12	spc2ev 3202	. . . . . . 7
14	11, 13	ax-mp 5	. . . . . 6
15		breq 4454	. . . . . . 7
16	15	2exbidv 1716	. . . . . 6
17	14, 16	mpbiri 233	. . . . 5
18		ssid 3522	. . . . . . 7
19	3	rnsnop 5494	. . . . . . 7
20	18, 19, 7	3sstr4i 3542	. . . . . 6
21		rneq 5233	. . . . . . 7
22		dmeq 5208	. . . . . . 7
23	21, 22	sseq12d 3532	. . . . . 6
24	20, 23	mpbiri 233	. . . . 5
25		pm5.5 336	. . . . 5
26	17, 24, 25	syl2anc 661	. . . 4
27		breq 4454	. . . . . 6
28	27	ralbidv 2896	. . . . 5
29	28	exbidv 1714	. . . 4
30	26, 29	bitrd 253	. . 3
31		ax-dc 8847	. . 3
32	1, 30, 31	vtocl 3161	. 2
33		1n0 7164	. . . . . . . 8
34		df-br 4453	. . . . . . . . 9
35		elsni 4054	. . . . . . . . . 10
36		fvex 5881	. . . . . . . . . . 11
37		fvex 5881	. . . . . . . . . . 11
38	36, 37	opth1 4725	. . . . . . . . . 10
39	35, 38	syl 16	. . . . . . . . 9
40	34, 39	sylbi 195	. . . . . . . 8
41		tz6.12i 5891	. . . . . . . 8
42	33, 40, 41	mpsyl 63	. . . . . . 7
43		vex 3112	. . . . . . . 8
44	43, 3	breldm 5212	. . . . . . 7
45	42, 44	syl 16	. . . . . 6
46	45	ralimi 2850	. . . . 5
47		dfss3 3493	. . . . 5
48	46, 47	sylibr 212	. . . 4
49		vex 3112	. . . . . 6
50	49	dmex 6733	. . . . 5
51	50	ssex 4596	. . . 4
52	48, 51	syl 16	. . 3
53	52	exlimiv 1722	. 2
54	32, 53	ax-mp 5	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  Funwfun 5587  `cfv 5593  com 6700  c1o 7142

This theorem is referenced by:  axdc2lem  8849  axdc3lem  8851  axdc4lem  8856  axcclem  8858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-dc 8847

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601  df-1o 7149