Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dcomex Unicode version

Theorem dcomex 8848
 Description: The Axiom of Dependent Choice implies Infinity, the way we have stated it. Thus, we have Inf+AC implies DC and DC implies Inf, but AC does not imply Inf. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
dcomex

Proof of Theorem dcomex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4693 . . 3
2 1on 7156 . . . . . . . . . 10
32elexi 3119 . . . . . . . . 9
43, 3fvsn 6104 . . . . . . . 8
53, 3funsn 5641 . . . . . . . . 9
63snid 4057 . . . . . . . . . 10
73dmsnop 5487 . . . . . . . . . 10
86, 7eleqtrri 2544 . . . . . . . . 9
9 funbrfvb 5915 . . . . . . . . 9
105, 8, 9mp2an 672 . . . . . . . 8
114, 10mpbi 208 . . . . . . 7
12 breq12 4457 . . . . . . . 8
133, 3, 12spc2ev 3202 . . . . . . 7
1411, 13ax-mp 5 . . . . . 6
15 breq 4454 . . . . . . 7
16152exbidv 1716 . . . . . 6
1714, 16mpbiri 233 . . . . 5
18 ssid 3522 . . . . . . 7
193rnsnop 5494 . . . . . . 7
2018, 19, 73sstr4i 3542 . . . . . 6
21 rneq 5233 . . . . . . 7
22 dmeq 5208 . . . . . . 7
2321, 22sseq12d 3532 . . . . . 6
2420, 23mpbiri 233 . . . . 5
25 pm5.5 336 . . . . 5
2617, 24, 25syl2anc 661 . . . 4
27 breq 4454 . . . . . 6
2827ralbidv 2896 . . . . 5
2928exbidv 1714 . . . 4
3026, 29bitrd 253 . . 3
31 ax-dc 8847 . . 3
321, 30, 31vtocl 3161 . 2
33 1n0 7164 . . . . . . . 8
34 df-br 4453 . . . . . . . . 9
35 elsni 4054 . . . . . . . . . 10
36 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
37 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
3836, 37opth1 4725 . . . . . . . . . 10
3935, 38syl 16 . . . . . . . . 9
4034, 39sylbi 195 . . . . . . . 8
41 tz6.12i 5891 . . . . . . . 8
4233, 40, 41mpsyl 63 . . . . . . 7
43 vex 3112 . . . . . . . 8
4443, 3breldm 5212 . . . . . . 7
4542, 44syl 16 . . . . . 6
4645ralimi 2850 . . . . 5
47 dfss3 3493 . . . . 5
4846, 47sylibr 212 . . . 4
49 vex 3112 . . . . . 6
5049dmex 6733 . . . . 5
5150ssex 4596 . . . 4
5248, 51syl 16 . . 3
5352exlimiv 1722 . 2
5432, 53ax-mp 5 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452   con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  Funwfun 5587  `cfv 5593   com 6700   c1o 7142 This theorem is referenced by:  axdc2lem  8849  axdc3lem  8851  axdc4lem  8856  axcclem  8858 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-dc 8847 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601  df-1o 7149
 Copyright terms: Public domain W3C validator