Theorem decma 11042

Description: Perform a multiply-add of two numerals and against a fixed multiplicand (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.1
decma.2
decma.3
decma.4
decma.5	No typesetting for: |- M = ; A B
decma.6	No typesetting for: |- N = ; C D
decma.7
decma.8
decma.9

Assertion

Ref	Expression
decma	No typesetting for: |- ( ( M x. P ) + N ) = ; E F

Proof of Theorem decma

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 10845	. . 3
2		decma.1	. . 3
3		decma.2	. . 3
4		decma.3	. . 3
5		decma.4	. . 3
6		decma.5	. . . 4 No typesetting for: |- M = ; A B
7		df-dec 11005	. . . 4 No typesetting for: |- ; A B = ( ( 10 x. A ) + B )
8	6, 7	eqtri 2486	. . 3
9		decma.6	. . . 4 No typesetting for: |- N = ; C D
10		df-dec 11005	. . . 4 No typesetting for: |- ; C D = ( ( 10 x. C ) + D )
11	9, 10	eqtri 2486	. . 3
12		decma.7	. . 3
13		decma.8	. . 3
14		decma.9	. . 3
15	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14	numma 11035	. 2
16		df-dec 11005	. 2 No typesetting for: |- ; E F = ( ( 10 x. E ) + F )
17	15, 16	eqtr4i 2489	1 No typesetting for: |- ( ( M x. P ) + N ) = ; E F

Syntax hints:  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296  caddc 9516  cmul 9518  c10 10618  cn0 10820  ;cdc 11004

This theorem is referenced by:  2503lem2  14620  4001lem1  14623  4001lem2  14624  4001lem3  14625  log2ub  23280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-dec 11005