Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decmul1c Unicode version

Theorem decmul1c 11051
 Description: The product of a numeral with a number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul1c.1
decmul1c.2
decmul1c.3
decmul1c.4 No typesetting for: |- N = ; A B
decmul1c.5
decmul1c.6
decmul1c.7
decmul1c.8 No typesetting for: |- ( B x. P ) = ; E D
Assertion
Ref Expression
decmul1c No typesetting for: |- ( N x. P ) = ; C D

Proof of Theorem decmul1c
StepHypRef Expression
1 10nn0 10845 . . 3
2 decmul1c.1 . . 3
3 decmul1c.2 . . 3
4 decmul1c.3 . . 3
5 decmul1c.4 . . . 4 No typesetting for: |- N = ; A B
6 df-dec 11005 . . . 4 No typesetting for: |- ; A B = ( ( 10 x. A ) + B )
75, 6eqtri 2486 . . 3
8 decmul1c.5 . . 3
9 decmul1c.6 . . 3
10 decmul1c.7 . . 3
11 decmul1c.8 . . . 4 No typesetting for: |- ( B x. P ) = ; E D
12 df-dec 11005 . . . 4 No typesetting for: |- ; E D = ( ( 10 x. E ) + D )
1311, 12eqtri 2486 . . 3
141, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13nummul1c 11040 . 2
15 df-dec 11005 . 2 No typesetting for: |- ; C D = ( ( 10 x. C ) + D )
1614, 15eqtr4i 2489 1 No typesetting for: |- ( N x. P ) = ; C D
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296   caddc 9516   cmul 9518   c10 10618   cn0 10820  ;cdc 11004 This theorem is referenced by:  2exp6OLD  14573  2exp8  14574  2exp16  14575  prmlem2  14605  37prm  14606  631prm  14612  1259lem1  14613  1259lem2  14614  1259lem3  14615  1259lem4  14616  1259prm  14618  2503lem1  14619  2503lem2  14620  2503prm  14622  4001lem1  14623  4001lem2  14624  4001lem3  14625  4001prm  14627  log2ublem3  23279  log2ub  23280  bpos1  23558  wallispi2lem2  31854 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-dec 11005
 Copyright terms: Public domain W3C validator