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Theorem dedekind 9765
Description: The Dedekind cut theorem. This theorem, which may be used to replace ax-pre-sup 9591 with appropriate adjustments, states that, if completely preceeds , then there is some number separating the two of them. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
dedekind
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,

Proof of Theorem dedekind
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1707 . . . . . . . 8
2 nfv 1707 . . . . . . . 8
3 nfra1 2838 . . . . . . . 8
41, 2, 3nf3an 1930 . . . . . . 7
5 nfv 1707 . . . . . . . 8
6 nfra1 2838 . . . . . . . . 9
7 nfra1 2838 . . . . . . . . 9
86, 7nfan 1928 . . . . . . . 8
95, 8nfan 1928 . . . . . . 7
104, 9nfan 1928 . . . . . 6
11 nfv 1707 . . . . . . . . 9
12 nfv 1707 . . . . . . . . 9
13 nfra2 2844 . . . . . . . . 9
1411, 12, 13nf3an 1930 . . . . . . . 8
15 nfv 1707 . . . . . . . 8
1614, 15nfan 1928 . . . . . . 7
17 nfv 1707 . . . . . . 7
18 simprrl 765 . . . . . . . . . . . 12
1918r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . 11
20 simpl2l 1049 . . . . . . . . . . . . 13
2120sselda 3503 . . . . . . . . . . . 12
22 simplrl 761 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22lenltd 9752 . . . . . . . . . . 11
2419, 23mpbird 232 . . . . . . . . . 10
2524ex 434 . . . . . . . . 9
26 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . . 15
27 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . . 16
28 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16
29 rsp 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3029com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
32 ssel2 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3332adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
35 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3635sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
37 ltnsym 9704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3834, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3931, 38syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4039an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4140ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4227, 28, 41syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15
4326, 42mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14
44 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645cbvralv 3084 . . . . . . . . . . . . . 14
4743, 46sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
48 ralnex 2903 . . . . . . . . . . . . 13
4947, 48sylib 196 . . . . . . . . . . . 12
50 simp2r 1023 . . . . . . . . . . . . . 14
51 ssel2 3498 . . . . . . . . . . . . . 14
5250, 28, 51syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13
53 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14
5453adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
55 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . 15
56 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5756rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . 15
5855, 57imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14
5958rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . 13
6052, 54, 59sylc 60 . . . . . . . . . . . 12
6149, 60mtod 177 . . . . . . . . . . 11
62 simprll 763 . . . . . . . . . . . 12
6362, 52lenltd 9752 . . . . . . . . . . 11
6461, 63mpbird 232 . . . . . . . . . 10
6564expr 615 . . . . . . . . 9
6625, 65anim12d 563 . . . . . . . 8
6766expd 436 . . . . . . 7
6816, 17, 67ralrimd 2861 . . . . . 6
6910, 68ralrimi 2857 . . . . 5
70 simp2l 1022 . . . . . 6
71 simp1l 1020 . . . . . 6
72 simp1r 1021 . . . . . . . . 9
73 n0 3794 . . . . . . . . 9
7472, 73sylib 196 . . . . . . . 8
7550sseld 3502 . . . . . . . . . 10
76 ralcom 3018 . . . . . . . . . . . 12
77 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . 14
7877ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . 13
7978rspccv 3207 . . . . . . . . . . . 12
8076, 79sylbi 195 . . . . . . . . . . 11
81803ad2ant3 1019 . . . . . . . . . 10
8275, 81jcad 533 . . . . . . . . 9
8382eximdv 1710 . . . . . . . 8
8474, 83mpd 15 . . . . . . 7
85 df-rex 2813 . . . . . . 7
8684, 85sylibr 212 . . . . . 6
87 axsup 9681 . . . . . 6
8870, 71, 86, 87syl3anc 1228 . . . . 5
8969, 88reximddv 2933 . . . 4
90893expib 1199 . . 3
91 1re 9616 . . . . 5
92 rzal 3931 . . . . 5
93 breq2 4456 . . . . . . . 8
94 breq1 4455 . . . . . . . 8
9593, 94anbi12d 710 . . . . . . 7
96952ralbidv 2901 . . . . . 6
9796rspcev 3210 . . . . 5
9891, 92, 97sylancr 663 . . . 4
9998a1d 25 . . 3
100 rzal 3931 . . . . . 6
101100ralrimivw 2872 . . . . 5
10291, 101, 97sylancr 663 . . . 4
103102a1d 25 . . 3
10490, 99, 103pm2.61iine 2779 . 2
1051043impa 1191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452   cr 9512  1c1 9514   clt 9649   cle 9650
This theorem is referenced by:  dedekindle  9766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655
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