MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dedekindle Unicode version

Theorem dedekindle 9766
Description: The Dedekind cut theorem, with the hypothesis weakened to only require non-strict less than. (Contributed by Scott Fenton, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
dedekindle
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,

Proof of Theorem dedekindle
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1002 . . . 4
2 simpr2 1003 . . . 4
3 simp1 996 . . . . . . . . . 10
4 simpl 457 . . . . . . . . . 10
5 disjel 3873 . . . . . . . . . 10
63, 4, 5syl2an 477 . . . . . . . . 9
7 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12
87biimpcd 224 . . . . . . . . . . 11
98necon3bd 2669 . . . . . . . . . 10
109ad2antll 728 . . . . . . . . 9
116, 10mpd 15 . . . . . . . 8
12 simp2 997 . . . . . . . . . . 11
13 ssel2 3498 . . . . . . . . . . 11
1412, 4, 13syl2an 477 . . . . . . . . . 10
15 simp3 998 . . . . . . . . . . 11
16 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
17 ssel2 3498 . . . . . . . . . . 11
1815, 16, 17syl2an 477 . . . . . . . . . 10
1914, 18ltlend 9751 . . . . . . . . 9
2019biimprd 223 . . . . . . . 8
2111, 20mpan2d 674 . . . . . . 7
2221ralimdvva 2868 . . . . . 6
23223exp 1195 . . . . 5
24233imp2 1211 . . . 4
25 dedekind 9765 . . . 4
261, 2, 24, 25syl3anc 1228 . . 3
2726ex 434 . 2
28 n0 3794 . . 3
29 simp1 996 . . . . . . 7
30 inss1 3717 . . . . . . . 8
3130sseli 3499 . . . . . . 7
32 ssel2 3498 . . . . . . 7
3329, 31, 32syl2an 477 . . . . . 6
34 nfv 1707 . . . . . . . . 9
35 nfv 1707 . . . . . . . . 9
36 nfra1 2838 . . . . . . . . 9
3734, 35, 36nf3an 1930 . . . . . . . 8
38 nfv 1707 . . . . . . . 8
3937, 38nfan 1928 . . . . . . 7
40 nfv 1707 . . . . . . . . . . 11
41 nfv 1707 . . . . . . . . . . 11
42 nfra2 2844 . . . . . . . . . . 11
4340, 41, 42nf3an 1930 . . . . . . . . . 10
44 nfv 1707 . . . . . . . . . 10
4543, 44nfan 1928 . . . . . . . . 9
46 rsp 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16
47 inss2 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4847sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
49 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5049rspccv 3207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5148, 50syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5246, 51syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15
5352com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14
5453imp32 433 . . . . . . . . . . . . 13
55543ad2antl3 1160 . . . . . . . . . . . 12
5655adantr 465 . . . . . . . . . . 11
57 simp3 998 . . . . . . . . . . . . 13
5831adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
59 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . 15
6059ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . 14
6160rspccva 3209 . . . . . . . . . . . . 13
6257, 58, 61syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12
6362r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . 11
6456, 63jca 532 . . . . . . . . . 10
6564ex 434 . . . . . . . . 9
6645, 65ralrimi 2857 . . . . . . . 8
6766expr 615 . . . . . . 7
6839, 67ralrimi 2857 . . . . . 6
69 breq2 4456 . . . . . . . . 9
70 breq1 4455 . . . . . . . . 9
7169, 70anbi12d 710 . . . . . . . 8
72712ralbidv 2901 . . . . . . 7
7372rspcev 3210 . . . . . 6
7433, 68, 73syl2anc 661 . . . . 5
7574expcom 435 . . . 4
7675exlimiv 1722 . . 3
7728, 76sylbi 195 . 2
7827, 77pm2.61ine 2770 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452   cr 9512   clt 9649   cle 9650
This theorem is referenced by:  axcontlem10  24276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655
  Copyright terms: Public domain W3C validator