Theorem dedekindle 9766

Description: The Dedekind cut theorem, with the hypothesis weakened to only require non-strict less than. (Contributed by Scott Fenton, 2-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dedekindle

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem dedekindle

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1002	. . . 4
2		simpr2 1003	. . . 4
3		simp1 996	. . . . . . . . . 10
4		simpl 457	. . . . . . . . . 10
5		disjel 3873	. . . . . . . . . 10
6	3, 4, 5	syl2an 477	. . . . . . . . 9
7		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . 12
8	7	biimpcd 224	. . . . . . . . . . 11
9	8	necon3bd 2669	. . . . . . . . . 10
10	9	ad2antll 728	. . . . . . . . 9
11	6, 10	mpd 15	. . . . . . . 8
12		simp2 997	. . . . . . . . . . 11
13		ssel2 3498	. . . . . . . . . . 11
14	12, 4, 13	syl2an 477	. . . . . . . . . 10
15		simp3 998	. . . . . . . . . . 11
16		simpr 461	. . . . . . . . . . 11
17		ssel2 3498	. . . . . . . . . . 11
18	15, 16, 17	syl2an 477	. . . . . . . . . 10
19	14, 18	ltlend 9751	. . . . . . . . 9
20	19	biimprd 223	. . . . . . . 8
21	11, 20	mpan2d 674	. . . . . . 7
22	21	ralimdvva 2868	. . . . . 6
23	22	3exp 1195	. . . . 5
24	23	3imp2 1211	. . . 4
25		dedekind 9765	. . . 4
26	1, 2, 24, 25	syl3anc 1228	. . 3
27	26	ex 434	. 2
28		n0 3794	. . 3
29		simp1 996	. . . . . . 7
30		inss1 3717	. . . . . . . 8
31	30	sseli 3499	. . . . . . 7
32		ssel2 3498	. . . . . . 7
33	29, 31, 32	syl2an 477	. . . . . 6
34		nfv 1707	. . . . . . . . 9
35		nfv 1707	. . . . . . . . 9
36		nfra1 2838	. . . . . . . . 9
37	34, 35, 36	nf3an 1930	. . . . . . . 8
38		nfv 1707	. . . . . . . 8
39	37, 38	nfan 1928	. . . . . . 7
40		nfv 1707	. . . . . . . . . . 11
41		nfv 1707	. . . . . . . . . . 11
42		nfra2 2844	. . . . . . . . . . 11
43	40, 41, 42	nf3an 1930	. . . . . . . . . 10
44		nfv 1707	. . . . . . . . . 10
45	43, 44	nfan 1928	. . . . . . . . 9
46		rsp 2823	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47		inss2 3718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48	47	sseli 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
49		breq2 4456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
50	49	rspccv 3207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
51	48, 50	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16
52	46, 51	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . 15
53	52	com23 78	. . . . . . . . . . . . . 14
54	53	imp32 433	. . . . . . . . . . . . 13
55	54	3ad2antl3 1160	. . . . . . . . . . . 12
56	55	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
57		simp3 998	. . . . . . . . . . . . 13
58	31	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
59		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	59	ralbidv 2896	. . . . . . . . . . . . . 14
61	60	rspccva 3209	. . . . . . . . . . . . 13
62	57, 58, 61	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12
63	62	r19.21bi 2826	. . . . . . . . . . 11
64	56, 63	jca 532	. . . . . . . . . 10
65	64	ex 434	. . . . . . . . 9
66	45, 65	ralrimi 2857	. . . . . . . 8
67	66	expr 615	. . . . . . 7
68	39, 67	ralrimi 2857	. . . . . 6
69		breq2 4456	. . . . . . . . 9
70		breq1 4455	. . . . . . . . 9
71	69, 70	anbi12d 710	. . . . . . . 8
72	71	2ralbidv 2901	. . . . . . 7
73	72	rspcev 3210	. . . . . 6
74	33, 68, 73	syl2anc 661	. . . . 5
75	74	expcom 435	. . . 4
76	75	exlimiv 1722	. . 3
77	28, 76	sylbi 195	. 2
78	27, 77	pm2.61ine 2770	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  cr 9512  clt 9649  cle 9650

This theorem is referenced by:  axcontlem10  24276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655