MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  demoivreALT Unicode version

Theorem demoivreALT 13936
Description: Alternate proof of demoivre 13935. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
demoivreALT

Proof of Theorem demoivreALT
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . 5
2 oveq1 6303 . . . . . . 7
32fveq2d 5875 . . . . . 6
42fveq2d 5875 . . . . . . 7
54oveq2d 6312 . . . . . 6
63, 5oveq12d 6314 . . . . 5
71, 6eqeq12d 2479 . . . 4
87imbi2d 316 . . 3
9 oveq2 6304 . . . . 5
10 oveq1 6303 . . . . . . 7
1110fveq2d 5875 . . . . . 6
1210fveq2d 5875 . . . . . . 7
1312oveq2d 6312 . . . . . 6
1411, 13oveq12d 6314 . . . . 5
159, 14eqeq12d 2479 . . . 4
1615imbi2d 316 . . 3
17 oveq2 6304 . . . . 5
18 oveq1 6303 . . . . . . 7
1918fveq2d 5875 . . . . . 6
2018fveq2d 5875 . . . . . . 7
2120oveq2d 6312 . . . . . 6
2219, 21oveq12d 6314 . . . . 5
2317, 22eqeq12d 2479 . . . 4
2423imbi2d 316 . . 3
25 oveq2 6304 . . . . 5
26 oveq1 6303 . . . . . . 7
2726fveq2d 5875 . . . . . 6
2826fveq2d 5875 . . . . . . 7
2928oveq2d 6312 . . . . . 6
3027, 29oveq12d 6314 . . . . 5
3125, 30eqeq12d 2479 . . . 4
3231imbi2d 316 . . 3
33 coscl 13862 . . . . . 6
34 ax-icn 9572 . . . . . . 7
35 sincl 13861 . . . . . . 7
36 mulcl 9597 . . . . . . 7
3734, 35, 36sylancr 663 . . . . . 6
38 addcl 9595 . . . . . 6
3933, 37, 38syl2anc 661 . . . . 5
40 exp0 12170 . . . . 5
4139, 40syl 16 . . . 4
42 mul02 9779 . . . . . . . 8
4342fveq2d 5875 . . . . . . 7
44 cos0 13885 . . . . . . 7
4543, 44syl6eq 2514 . . . . . 6
4642fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
47 sin0 13884 . . . . . . . . 9
4846, 47syl6eq 2514 . . . . . . . 8
4948oveq2d 6312 . . . . . . 7
5034mul01i 9791 . . . . . . 7
5149, 50syl6eq 2514 . . . . . 6
5245, 51oveq12d 6314 . . . . 5
53 ax-1cn 9571 . . . . . 6
5453addid1i 9788 . . . . 5
5552, 54syl6eq 2514 . . . 4
5641, 55eqtr4d 2501 . . 3
57 expp1 12173 . . . . . . . . 9
5839, 57sylan 471 . . . . . . . 8
5958ancoms 453 . . . . . . 7
6059adantr 465 . . . . . 6
61 oveq1 6303 . . . . . . 7
6261adantl 466 . . . . . 6
63 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . . 13
64 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . 13
6563, 64sylan 471 . . . . . . . . . . . 12
66 sinadd 13899 . . . . . . . . . . . 12
6765, 66sylancom 667 . . . . . . . . . . 11
6833adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
69 sincl 13861 . . . . . . . . . . . . . 14
7065, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
71 mulcom 9599 . . . . . . . . . . . . 13
7268, 70, 71syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
7372oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
74 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . 13
7568, 70, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
76 coscl 13862 . . . . . . . . . . . . . 14
7765, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
7835adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
79 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . 13
8077, 78, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
81 addcom 9787 . . . . . . . . . . . 12
8275, 80, 81syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
8367, 73, 823eqtr2d 2504 . . . . . . . . . 10
8483oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
8584oveq2d 6312 . . . . . . . 8
86 adddir 9608 . . . . . . . . . . . . 13
87 mulid2 9615 . . . . . . . . . . . . . . 15
8887oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14
89883ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . 13
9086, 89eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
9163, 90syl3an1 1261 . . . . . . . . . . 11
9253, 91mp3an2 1312 . . . . . . . . . 10
9392fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
9492fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10
9594oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
9693, 95oveq12d 6314 . . . . . . . 8
97 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . 14
9834, 97mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13
9965, 69, 983syl 20 . . . . . . . . . . . 12
10033, 37jca 532 . . . . . . . . . . . . 13
101100adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
102 muladd 10014 . . . . . . . . . . . 12
10377, 99, 101, 102syl21anc 1227 . . . . . . . . . . 11
10478, 34jctil 537 . . . . . . . . . . . . . 14
10570, 34jctil 537 . . . . . . . . . . . . . 14
106 mul4 9770 . . . . . . . . . . . . . . 15
107 ixi 10203 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108107oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15
109106, 108syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . 14
110104, 105, 109syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
111110oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
112111oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
113 mul12 9767 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11434, 113mp3an2 1312 . . . . . . . . . . . . . . 15
11577, 78, 114syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
116 mul12 9767 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11734, 116mp3an2 1312 . . . . . . . . . . . . . . 15
11868, 70, 117syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
119115, 118oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . 13
120 adddi 9602 . . . . . . . . . . . . . . 15
12134, 120mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . 14
12280, 75, 121syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
123119, 122eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . 12
124123oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
125103, 112, 1243eqtrd 2502 . . . . . . . . . 10
126 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . 14
12778, 70, 126syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
128 mulm1 10023 . . . . . . . . . . . . 13
129127, 128syl 16 . . . . . . . . . . . 12
130129oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
131130oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
132 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . 13
13377, 68, 132syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
134 negsub 9890 . . . . . . . . . . . 12
135133, 127, 134syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
136135oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
137125, 131, 1363eqtrd 2502 . . . . . . . . 9
138 cosadd 13900 . . . . . . . . . . . 12
13965, 138sylancom 667 . . . . . . . . . . 11
140 mulcom 9599 . . . . . . . . . . . . 13
14170, 78, 140syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
142141oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
143139, 142eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
144143oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
145137, 144eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
14685, 96, 1453eqtr4rd 2509 . . . . . . 7
147146adantr 465 . . . . . 6
14860, 62, 1473eqtrd 2502 . . . . 5
149148exp31 604 . . . 4
150149a2d 26 . . 3
1518, 16, 24, 32, 56, 150nn0ind 10984 . 2
152151impcom 430 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828  -ucneg 9829   cn0 10820   cexp 12166   csin 13799   ccos 13800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-bc 12381  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509  df-ef 13803  df-sin 13805  df-cos 13806
  Copyright terms: Public domain W3C validator