MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac12lem1 Unicode version

Theorem dfac12lem1 8544
Description: Lemma for dfac12 8550. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac12.1
dfac12.3
dfac12.4
dfac12.5
dfac12.h
Assertion
Ref Expression
dfac12lem1
Distinct variable groups:   ,   , ,   , ,   ,   , ,   ,

Proof of Theorem dfac12lem1
StepHypRef Expression
1 dfac12.5 . . 3
2 dfac12.4 . . . 4
32tfr2 7086 . . 3
41, 3syl 16 . 2
52tfr1 7085 . . . . 5
6 fnfun 5683 . . . . 5
75, 6ax-mp 5 . . . 4
8 resfunexg 6137 . . . 4
97, 1, 8sylancr 663 . . 3
10 dmeq 5208 . . . . . 6
1110fveq2d 5875 . . . . 5
1210unieqd 4259 . . . . . . 7
1310, 12eqeq12d 2479 . . . . . 6
14 rneq 5233 . . . . . . . . . . . . 13
15 df-ima 5017 . . . . . . . . . . . . 13
1614, 15syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . 12
1716unieqd 4259 . . . . . . . . . . 11
1817rneqd 5235 . . . . . . . . . 10
1918unieqd 4259 . . . . . . . . 9
20 suceq 4948 . . . . . . . . 9
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8
2221oveq1d 6311 . . . . . . 7
23 fveq1 5870 . . . . . . . 8
2423fveq1d 5873 . . . . . . 7
2522, 24oveq12d 6314 . . . . . 6
26 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
2726, 12fveq12d 5877 . . . . . . . . . . . 12
2827rneqd 5235 . . . . . . . . . . 11
29 oieq2 7959 . . . . . . . . . . 11
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . 10
3130cnveqd 5183 . . . . . . . . 9
3231, 27coeq12d 5172 . . . . . . . 8
3332imaeq1d 5341 . . . . . . 7
3433fveq2d 5875 . . . . . 6
3513, 25, 34ifbieq12d 3968 . . . . 5
3611, 35mpteq12dv 4530 . . . 4
37 eqid 2457 . . . 4
38 fvex 5881 . . . . 5
3938mptex 6143 . . . 4
4036, 37, 39fvmpt 5956 . . 3
419, 40syl 16 . 2
42 onss 6626 . . . . . . . 8
431, 42syl 16 . . . . . . 7
44 fnssres 5699 . . . . . . 7
455, 43, 44sylancr 663 . . . . . 6
46 fndm 5685 . . . . . 6
4745, 46syl 16 . . . . 5
4847fveq2d 5875 . . . 4
4948mpteq1d 4533 . . 3
5047adantr 465 . . . . . . 7
5150unieqd 4259 . . . . . . 7
5250, 51eqeq12d 2479 . . . . . 6
5352ifbid 3963 . . . . 5
54 rankr1ai 8237 . . . . . . . . . . . 12
5554ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11
56 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
5755, 56eleqtrd 2547 . . . . . . . . . 10
58 eloni 4893 . . . . . . . . . . . 12
59 ordsucuniel 6659 . . . . . . . . . . . 12
601, 58, 593syl 20 . . . . . . . . . . 11
6160ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
6257, 61mpbid 210 . . . . . . . . 9
63 fvres 5885 . . . . . . . . 9
6462, 63syl 16 . . . . . . . 8
6564fveq1d 5873 . . . . . . 7
6665oveq2d 6312 . . . . . 6
6766ifeq1da 3971 . . . . 5
6851adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . 14
701ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
71 uniexg 6597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
72 sucidg 4961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7370, 71, 723syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
741adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
75 orduniorsuc 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7674, 58, 753syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7776orcanai 913 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7873, 77eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . . . . . 15
79 fvres 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
8169, 80eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13
8281rneqd 5235 . . . . . . . . . . . 12
83 oieq2 7959 . . . . . . . . . . . 12
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . 11
8584cnveqd 5183 . . . . . . . . . 10
8685, 81coeq12d 5172 . . . . . . . . 9
87 dfac12.h . . . . . . . . 9
8886, 87syl6eqr 2516 . . . . . . . 8
8988imaeq1d 5341 . . . . . . 7
9089fveq2d 5875 . . . . . 6
9190ifeq2da 3972 . . . . 5
9253, 67, 913eqtrd 2502 . . . 4
9392mpteq2dva 4538 . . 3
9449, 93eqtrd 2498 . 2
954, 41, 943eqtrd 2502 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  C_wss 3475  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  e.cmpt 4510   cep 4794  Ordword 4882   con0 4883  succsuc 4885  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  o.ccom 5008  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593  (class class class)co 6296  recscrecs 7060   coa 7146   comu 7147  OrdIsocoi 7955   char 8003   cr1 8201   crnk 8202
This theorem is referenced by:  dfac12lem2  8545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oi 7956  df-r1 8203  df-rank 8204
  Copyright terms: Public domain W3C validator