Theorem dfac12r 8547

Description: The axiom of choice holds iff every ordinal has a well-orderable powerset. This version of dfac12 8550 does not assume the Axiom of Regularity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac12r

Proof of Theorem dfac12r

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankwflemb 8232	. . . 4
2		harcl 8008	. . . . . . . . 9
3		pweq 4015	. . . . . . . . . . 11
4	3	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10
5	4	rspcv 3206	. . . . . . . . 9
6	2, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8
7		cardid2 8355	. . . . . . . 8
8		ensym 7584	. . . . . . . 8
9		bren 7545	. . . . . . . . 9
10		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12
11		f1of1 5820	. . . . . . . . . . . . . 14
12	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
13		cardon 8346	. . . . . . . . . . . . . 14
14	13	onssi 6672	. . . . . . . . . . . . 13
15		f1ss 5791	. . . . . . . . . . . . 13
16	12, 14, 15	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12
17		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18	17	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
19		suceq 4948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
20	17, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
21	20	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23	21, 22	fveq12d 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24	18, 23	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
25		imaeq2 5338	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
26	25	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
27	24, 26	ifeq12d 3961	. . . . . . . . . . . . . . . 16
28	27	cbvmptv 4543	. . . . . . . . . . . . . . 15
29		dmeq 5208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
30	29	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	29	unieqd 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32	29, 31	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
33		rneq 5233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
34	33	unieqd 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
35	34	rneqd 5235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
36	35	unieqd 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
37		suceq 4948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
39	38	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
40		fveq1 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
41	40	fveq1d 5873	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42	39, 41	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
43		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
44	43, 31	fveq12d 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
45	44	rneqd 5235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
46		oieq2 7959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
48	47	cnveqd 5183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
49	48, 44	coeq12d 5172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50	49	imaeq1d 5341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
51	50	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
52	32, 42, 51	ifbieq12d 3968	. . . . . . . . . . . . . . . 16
53	30, 52	mpteq12dv 4530	. . . . . . . . . . . . . . 15
54	28, 53	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . . . 14
55	54	cbvmptv 4543	. . . . . . . . . . . . 13
56		recseq 7062	. . . . . . . . . . . . 13
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
58	10, 16, 57	dfac12lem3 8546	. . . . . . . . . . 11
59	58	ex 434	. . . . . . . . . 10
60	59	exlimiv 1722	. . . . . . . . 9
61	9, 60	sylbi 195	. . . . . . . 8
62	6, 7, 8, 61	4syl 21	. . . . . . 7
63	62	imp 429	. . . . . 6
64		r1suc 8209	. . . . . . . . 9
65	64	adantl 466	. . . . . . . 8
66	65	eleq2d 2527	. . . . . . 7
67		elpwi 4021	. . . . . . 7
68	66, 67	syl6bi 228	. . . . . 6
69		ssnum 8441	. . . . . 6
70	63, 68, 69	syl6an 545	. . . . 5
71	70	rexlimdva 2949	. . . 4
72	1, 71	syl5bi 217	. . 3
73	72	ssrdv 3509	. 2
74		onwf 8269	. . . . . 6
75	74	sseli 3499	. . . . 5
76		pwwf 8246	. . . . 5
77	75, 76	sylib 196	. . . 4
78		ssel 3497	. . . 4
79	77, 78	syl5 32	. . 3
80	79	ralrimiv 2869	. 2
81	73, 80	impbii 188	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  C_wss 3475  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  cep 4794  con0 4883  succsuc 4885  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  o.ccom 5008  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  recscrecs 7060  coa 7146  comu 7147  cen 7533  OrdIsocoi 7955  char 8003  cr1 8201  crnk 8202  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  dfac12a  8549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-oi 7956  df-har 8005  df-r1 8203  df-rank 8204  df-card 8341