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Theorem dfac12r 8547
Description: The axiom of choice holds iff every ordinal has a well-orderable powerset. This version of dfac12 8550 does not assume the Axiom of Regularity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac12r

Proof of Theorem dfac12r
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rankwflemb 8232 . . . 4
2 harcl 8008 . . . . . . . . 9
3 pweq 4015 . . . . . . . . . . 11
43eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
54rspcv 3206 . . . . . . . . 9
62, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8
7 cardid2 8355 . . . . . . . 8
8 ensym 7584 . . . . . . . 8
9 bren 7545 . . . . . . . . 9
10 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
11 f1of1 5820 . . . . . . . . . . . . . 14
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
13 cardon 8346 . . . . . . . . . . . . . 14
1413onssi 6672 . . . . . . . . . . . . 13
15 f1ss 5791 . . . . . . . . . . . . 13
1612, 14, 15sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12
17 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1817oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
19 suceq 4948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2017, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2120fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2321, 22fveq12d 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2418, 23oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
25 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2625fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2724, 26ifeq12d 3961 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2827cbvmptv 4543 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 dmeq 5208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3029fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3129unieqd 4259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3229, 31eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
33 rneq 5233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3433unieqd 4259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3534rneqd 5235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3635unieqd 4259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
37 suceq 4948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3938oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
40 fveq1 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4140fveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4239, 41oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
43 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4443, 31fveq12d 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4544rneqd 5235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
46 oieq2 7959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4847cnveqd 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4948, 44coeq12d 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5049imaeq1d 5341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5150fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5232, 42, 51ifbieq12d 3968 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5330, 52mpteq12dv 4530 . . . . . . . . . . . . . . 15
5428, 53syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . 14
5554cbvmptv 4543 . . . . . . . . . . . . 13
56 recseq 7062 . . . . . . . . . . . . 13
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
5810, 16, 57dfac12lem3 8546 . . . . . . . . . . 11
5958ex 434 . . . . . . . . . 10
6059exlimiv 1722 . . . . . . . . 9
619, 60sylbi 195 . . . . . . . 8
626, 7, 8, 614syl 21 . . . . . . 7
6362imp 429 . . . . . 6
64 r1suc 8209 . . . . . . . . 9
6564adantl 466 . . . . . . . 8
6665eleq2d 2527 . . . . . . 7
67 elpwi 4021 . . . . . . 7
6866, 67syl6bi 228 . . . . . 6
69 ssnum 8441 . . . . . 6
7063, 68, 69syl6an 545 . . . . 5
7170rexlimdva 2949 . . . 4
721, 71syl5bi 217 . . 3
7372ssrdv 3509 . 2
74 onwf 8269 . . . . . 6
7574sseli 3499 . . . . 5
76 pwwf 8246 . . . . 5
7775, 76sylib 196 . . . 4
78 ssel 3497 . . . 4
7977, 78syl5 32 . . 3
8079ralrimiv 2869 . 2
8173, 80impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cep 4794   con0 4883  succsuc 4885  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  o.ccom 5008  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  recscrecs 7060   coa 7146   comu 7147   cen 7533  OrdIsocoi 7955   char 8003   cr1 8201   crnk 8202   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  dfac12a  8549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-oi 7956  df-har 8005  df-r1 8203  df-rank 8204  df-card 8341
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