Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac13 Unicode version

Theorem dfac13 8543
 Description: The axiom of choice holds iff every set has choice sequences as long as itself. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac13

Proof of Theorem dfac13
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3112 . . . 4
2 acacni 8541 . . . . 5
31, 2mpan2 671 . . . 4
41, 3syl5eleqr 2552 . . 3
54alrimiv 1719 . 2
6 vex 3112 . . . . . . . . 9
76pwex 4635 . . . . . . . 8
8 id 22 . . . . . . . . 9
9 acneq 8445 . . . . . . . . 9
108, 9eleq12d 2539 . . . . . . . 8
117, 10spcv 3200 . . . . . . 7
12 vex 3112 . . . . . . . 8
136canth2 7690 . . . . . . . . . 10
14 sdomdom 7563 . . . . . . . . . 10
15 acndom2 8456 . . . . . . . . . 10
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9
17 acnnum 8454 . . . . . . . . 9
1816, 17sylib 196 . . . . . . . 8
19 numacn 8451 . . . . . . . 8
2012, 18, 19mpsyl 63 . . . . . . 7
2111, 20syl 16 . . . . . 6
226a1i 11 . . . . . 6
2321, 222thd 240 . . . . 5
2423eqrdv 2454 . . . 4
2524alrimiv 1719 . . 3
26 dfacacn 8542 . . 3
2725, 26sylibr 212 . 2
285, 27impbii 188 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  domcdm 5004   cdom 7534   csdm 7535   ccrd 8337  AC_wacn 8340   wac 8517 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-1o 7149  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-acn 8344  df-ac 8518
 Copyright terms: Public domain W3C validator