MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac3 Unicode version

Theorem dfac3 8523
Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The left-hand side is defined as the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49. The right-hand side is the Axiom of Choice of [TakeutiZaring] p. 83. The proof does not depend on AC. (Contributed by NM, 24-Mar-2004.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac3
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem dfac3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ac 8518 . 2
2 vex 3112 . . . . . . . 8
32uniex 6596 . . . . . . . 8
42, 3xpex 6604 . . . . . . 7
5 simpl 457 . . . . . . . . . 10
6 elunii 4254 . . . . . . . . . . 11
76ancoms 453 . . . . . . . . . 10
85, 7jca 532 . . . . . . . . 9
98ssopab2i 4780 . . . . . . . 8
10 df-xp 5010 . . . . . . . 8
119, 10sseqtr4i 3536 . . . . . . 7
124, 11ssexi 4597 . . . . . 6
13 sseq2 3525 . . . . . . . 8
14 dmeq 5208 . . . . . . . . 9
1514fneq2d 5677 . . . . . . . 8
1613, 15anbi12d 710 . . . . . . 7
1716exbidv 1714 . . . . . 6
1812, 17spcv 3200 . . . . 5
19 fndm 5685 . . . . . . . . . . . . 13
20 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . 14
21 dmopab 5218 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2221eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . 16
24 elequ1 1821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
25 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2624, 25anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2726exbidv 1714 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2823, 27elab 3246 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 19.42v 1775 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 n0 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3130anbi2i 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3229, 31bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . 15
3322, 28, 323bitrri 272 . . . . . . . . . . . . . 14
3420, 33syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . 13
3519, 34syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3635adantl 466 . . . . . . . . . . 11
37 fnfun 5683 . . . . . . . . . . . 12
38 funfvima3 6149 . . . . . . . . . . . . 13
3938ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12
4037, 39sylan2 474 . . . . . . . . . . 11
4136, 40sylbid 215 . . . . . . . . . 10
4241imp 429 . . . . . . . . 9
43 ibar 504 . . . . . . . . . . . . 13
4443abbi2dv 2594 . . . . . . . . . . . 12
45 imasng 5364 . . . . . . . . . . . . . 14
4623, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
47 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
48 elequ1 1821 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4948anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
5123, 47, 26, 49, 50brab 4775 . . . . . . . . . . . . . 14
5251abbii 2591 . . . . . . . . . . . . 13
5346, 52eqtri 2486 . . . . . . . . . . . 12
5444, 53syl6reqr 2517 . . . . . . . . . . 11
5554eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10
5655ad2antrl 727 . . . . . . . . 9
5742, 56mpbid 210 . . . . . . . 8
5857exp32 605 . . . . . . 7
5958ralrimiv 2869 . . . . . 6
6059eximi 1656 . . . . 5
6118, 60syl 16 . . . 4
6261alrimiv 1719 . . 3
63 eqid 2457 . . . . 5
6463aceq3lem 8522 . . . 4
6564alrimiv 1719 . . 3
6662, 65impbii 188 . 2
671, 66bitri 249 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  {copab 4509  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  domcdm 5004  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593   wac 8517
This theorem is referenced by:  dfac4  8524  dfac5  8530  dfac2a  8531  dfac2  8532  dfac8  8536  dfac9  8537  ac4  8876  dfac11  31008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601  df-ac 8518
  Copyright terms: Public domain W3C validator