Theorem dfac3 8523

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The left-hand side is defined as the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49. The right-hand side is the Axiom of Choice of [TakeutiZaring] p. 83. The proof does not depend on AC. (Contributed by NM, 24-Mar-2004.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac3

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem dfac3

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ac 8518	. 2
2		vex 3112	. . . . . . . 8
3	2	uniex 6596	. . . . . . . 8
4	2, 3	xpex 6604	. . . . . . 7
5		simpl 457	. . . . . . . . . 10
6		elunii 4254	. . . . . . . . . . 11
7	6	ancoms 453	. . . . . . . . . 10
8	5, 7	jca 532	. . . . . . . . 9
9	8	ssopab2i 4780	. . . . . . . 8
10		df-xp 5010	. . . . . . . 8
11	9, 10	sseqtr4i 3536	. . . . . . 7
12	4, 11	ssexi 4597	. . . . . 6
13		sseq2 3525	. . . . . . . 8
14		dmeq 5208	. . . . . . . . 9
15	14	fneq2d 5677	. . . . . . . 8
16	13, 15	anbi12d 710	. . . . . . 7
17	16	exbidv 1714	. . . . . 6
18	12, 17	spcv 3200	. . . . 5
19		fndm 5685	. . . . . . . . . . . . 13
20		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . 14
21		dmopab 5218	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22	21	eleq2i 2535	. . . . . . . . . . . . . . 15
23		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24		elequ1 1821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
25		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
26	24, 25	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
27	26	exbidv 1714	. . . . . . . . . . . . . . . 16
28	23, 27	elab 3246	. . . . . . . . . . . . . . 15
29		19.42v 1775	. . . . . . . . . . . . . . . 16
30		n0 3794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
31	30	anbi2i 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16
32	29, 31	bitr4i 252	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	22, 28, 32	3bitrri 272	. . . . . . . . . . . . . 14
34	20, 33	syl6rbbr 264	. . . . . . . . . . . . 13
35	19, 34	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
36	35	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
37		fnfun 5683	. . . . . . . . . . . 12
38		funfvima3 6149	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	ancoms 453	. . . . . . . . . . . 12
40	37, 39	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11
41	36, 40	sylbid 215	. . . . . . . . . 10
42	41	imp 429	. . . . . . . . 9
43		ibar 504	. . . . . . . . . . . . 13
44	43	abbi2dv 2594	. . . . . . . . . . . 12
45		imasng 5364	. . . . . . . . . . . . . 14
46	23, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
47		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . 15
48		elequ1 1821	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . 15
50		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	23, 47, 26, 49, 50	brab 4775	. . . . . . . . . . . . . 14
52	51	abbii 2591	. . . . . . . . . . . . 13
53	46, 52	eqtri 2486	. . . . . . . . . . . 12
54	44, 53	syl6reqr 2517	. . . . . . . . . . 11
55	54	eleq2d 2527	. . . . . . . . . 10
56	55	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9
57	42, 56	mpbid 210	. . . . . . . 8
58	57	exp32 605	. . . . . . 7
59	58	ralrimiv 2869	. . . . . 6
60	59	eximi 1656	. . . . 5
61	18, 60	syl 16	. . . 4
62	61	alrimiv 1719	. . 3
63		eqid 2457	. . . . 5
64	63	aceq3lem 8522	. . . 4
65	64	alrimiv 1719	. . 3
66	62, 65	impbii 188	. 2
67	1, 66	bitri 249	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  {copab 4509  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  domcdm 5004  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593  wac 8517

This theorem is referenced by:  dfac4  8524  dfac5  8530  dfac2a  8531  dfac2  8532  dfac8  8536  dfac9  8537  ac4  8876  dfac11  31008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601  df-ac 8518