MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac4 Unicode version

Theorem dfac4 8524
Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The right-hand side is Axiom AC of [BellMachover] p. 488. The proof does not depend on AC. (Contributed by NM, 24-Mar-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac4
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem dfac4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 8523 . 2
2 fveq1 5870 . . . . . . . . 9
32eleq1d 2526 . . . . . . . 8
43imbi2d 316 . . . . . . 7
54ralbidv 2896 . . . . . 6
65cbvexv 2024 . . . . 5
7 fvex 5881 . . . . . . . . 9
8 eqid 2457 . . . . . . . . 9
97, 8fnmpti 5714 . . . . . . . 8
10 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
11 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
1210, 8, 11fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . 12
1312eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
1413imbi2d 316 . . . . . . . . . 10
1514ralbiia 2887 . . . . . . . . 9
1615anbi2i 694 . . . . . . . 8
179, 16mpbiran 918 . . . . . . 7
18 fvrn0 5893 . . . . . . . . . . 11
1918rgenw 2818 . . . . . . . . . 10
208fmpt 6052 . . . . . . . . . 10
2119, 20mpbi 208 . . . . . . . . 9
22 vex 3112 . . . . . . . . 9
23 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
2423rnex 6734 . . . . . . . . . 10
25 p0ex 4639 . . . . . . . . . 10
2624, 25unex 6598 . . . . . . . . 9
27 fex2 6755 . . . . . . . . 9
2821, 22, 26, 27mp3an 1324 . . . . . . . 8
29 fneq1 5674 . . . . . . . . 9
30 fveq1 5870 . . . . . . . . . . . 12
3130eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
3231imbi2d 316 . . . . . . . . . 10
3332ralbidv 2896 . . . . . . . . 9
3429, 33anbi12d 710 . . . . . . . 8
3528, 34spcev 3201 . . . . . . 7
3617, 35sylbir 213 . . . . . 6
3736exlimiv 1722 . . . . 5
386, 37sylbi 195 . . . 4
39 exsimpr 1678 . . . 4
4038, 39impbii 188 . . 3
4140albii 1640 . 2
421, 41bitri 249 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807   cvv 3109  u.cun 3473   c0 3784  {csn 4029  e.cmpt 4510  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593   wac 8517
This theorem is referenced by:  dfac5  8530  dfacacn  8542  ac5  8878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ac 8518
  Copyright terms: Public domain W3C validator