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Theorem dfac5 8530
Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The right-hand side is Theorem 6M(4) of [Enderton] p. 151 and asserts that given a family of mutually disjoint nonempty sets, a set exists containing exactly one member from each set in the family. The proof does not depend on AC. (Contributed by NM, 11-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac5
Distinct variable group:   , , , ,

Proof of Theorem dfac5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac4 8524 . . 3
2 neeq1 2738 . . . . . . . . . . . . 13
32cbvralv 3084 . . . . . . . . . . . 12
43anbi2i 694 . . . . . . . . . . 11
5 r19.26 2984 . . . . . . . . . . 11
64, 5bitr4i 252 . . . . . . . . . 10
7 pm3.35 587 . . . . . . . . . . . 12
87ancoms 453 . . . . . . . . . . 11
98ralimi 2850 . . . . . . . . . 10
106, 9sylbi 195 . . . . . . . . 9
11 r19.26 2984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12 elin 3686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13 fvelrnb 5920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1413biimpac 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
16 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1715, 16eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
18 neeq2 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
19 ineq2 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2019eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2118, 20imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2217, 21anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2322rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
24 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2524biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
26 minel 3882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2726ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2827imim2d 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2928imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3029necon4ad 2677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3130imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3225, 31sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
33 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
34 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
35 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3634, 35syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3733, 36syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3837ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3932, 38mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4039exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4123, 40syl6com 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4241com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4342rexlimdv 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4414, 43syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4544expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4645com4t 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4746imp4b 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4812, 47syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4911, 48sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5049anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5150adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15
52 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
53 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5452, 53eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5554rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
56 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5756expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5855, 57anim12d 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
59 elin 3686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6058, 59syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6160expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6261com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6362imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
64 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6563, 64syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
6751, 66impbid 191 . . . . . . . . . . . . . 14
6867ex 434 . . . . . . . . . . . . 13
6968alrimdv 1721 . . . . . . . . . . . 12
70 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
71 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7271bibi2d 318 . . . . . . . . . . . . . . 15
7372albidv 1713 . . . . . . . . . . . . . 14
7470, 73spcev 3201 . . . . . . . . . . . . 13
75 df-eu 2286 . . . . . . . . . . . . 13
7674, 75sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12
7769, 76syl6 33 . . . . . . . . . . 11
7877ralimdva 2865 . . . . . . . . . 10
7978ex 434 . . . . . . . . 9
8010, 79syl5 32 . . . . . . . 8
8180expd 436 . . . . . . 7
8281imp4b 590 . . . . . 6
83 vex 3112 . . . . . . . 8
8483rnex 6734 . . . . . . 7
85 ineq2 3693 . . . . . . . . . 10
8685eleq2d 2527 . . . . . . . . 9
8786eubidv 2304 . . . . . . . 8
8887ralbidv 2896 . . . . . . 7
8984, 88spcev 3201 . . . . . 6
9082, 89syl6 33 . . . . 5
9190exlimiv 1722 . . . 4
9291alimi 1633 . . 3
931, 92sylbi 195 . 2
94 eqid 2457 . . . . 5
95 eqid 2457 . . . . 5
96 biid 236 . . . . 5
9794, 95, 96dfac5lem5 8529 . . . 4
9897alrimiv 1719 . . 3
99 dfac3 8523 . . 3
10098, 99sylibr 212 . 2
10193, 100impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E!weu 2282  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  i^icin 3474   c0 3784  {csn 4029  U.cuni 4249  X.cxp 5002  rancrn 5005  Fnwfn 5588  `cfv 5593   wac 8517
This theorem is referenced by:  dfackm  8567  ac8  8893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ac 8518
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