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Theorem dfac5lem4 8528
Description: Lemma for dfac5 8530. (Contributed by NM, 11-Apr-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac5lem.1
dfac5lem.2
dfac5lem.3
Assertion
Ref Expression
dfac5lem4
Distinct variable groups:   , , , , , , ,   , ,   , , , ,

Proof of Theorem dfac5lem4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3112 . . . . . 6
2 neeq1 2738 . . . . . . 7
3 eqeq1 2461 . . . . . . . 8
43rexbidv 2968 . . . . . . 7
52, 4anbi12d 710 . . . . . 6
61, 5elab 3246 . . . . 5
76simplbi 460 . . . 4
8 dfac5lem.1 . . . 4
97, 8eleq2s 2565 . . 3
109rgen 2817 . 2
11 df-an 371 . . . . . . 7
121, 5, 8elab2 3249 . . . . . . . . 9
1312simprbi 464 . . . . . . . 8
14 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
15 neeq1 2738 . . . . . . . . . . . 12
16 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . 13
1716rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . 12
1815, 17anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11
1914, 18, 8elab2 3249 . . . . . . . . . 10
2019simprbi 464 . . . . . . . . 9
21 sneq 4039 . . . . . . . . . . . . 13
2221xpeq1d 5027 . . . . . . . . . . . 12
23 xpeq2 5019 . . . . . . . . . . . 12
2422, 23eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11
2524eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10
2625cbvrexv 3085 . . . . . . . . 9
2720, 26sylib 196 . . . . . . . 8
28 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
29 elxp 5021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
30 excom 1849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3129, 30bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3228, 31syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
33 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34 elxp 5021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
35 excom 1849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3634, 35bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3733, 36syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3832, 37bi2anan9 873 . . . . . . . . . . . . . . . 16
39 eeanv 1988 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4038, 39syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 elsn 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
42 opeq1 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4342eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4443biimpac 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4541, 44sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4645adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4746exlimiv 1722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48 elsn 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
49 opeq1 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5049eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5150biimpac 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5248, 51sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5352adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5453exlimiv 1722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5547, 54sylan9req 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
56 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
57 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5856, 57opth1 4725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5955, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6059exlimivv 1723 . . . . . . . . . . . . . . 15
6140, 60syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14
6261, 24syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13
63 eqeq12 2476 . . . . . . . . . . . . 13
6462, 63sylibrd 234 . . . . . . . . . . . 12
6564ex 434 . . . . . . . . . . 11
6665rexlimivw 2946 . . . . . . . . . 10
6766rexlimdvw 2952 . . . . . . . . 9
6867imp 429 . . . . . . . 8
6913, 27, 68syl2an 477 . . . . . . 7
7011, 69syl5bir 218 . . . . . 6
7170necon1ad 2673 . . . . 5
7271alrimdv 1721 . . . 4
73 disj1 3869 . . . 4
7472, 73syl6ibr 227 . . 3
7574rgen2a 2884 . 2
76 dfac5lem.3 . . 3
77 vex 3112 . . . . . . . 8
7877uniex 6596 . . . . . . . 8
7977, 78xpex 6604 . . . . . . 7
8079pwex 4635 . . . . . 6
81 snssi 4174 . . . . . . . . . . . 12
82 elssuni 4279 . . . . . . . . . . . 12
83 xpss12 5113 . . . . . . . . . . . 12
8481, 82, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
85 snex 4693 . . . . . . . . . . . . 13
8685, 56xpex 6604 . . . . . . . . . . . 12
8786elpw 4018 . . . . . . . . . . 11
8884, 87sylibr 212 . . . . . . . . . 10
89 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
9088, 89syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9
9190rexlimiv 2943 . . . . . . . 8
9291adantl 466 . . . . . . 7
9392abssi 3574 . . . . . 6
9480, 93ssexi 4597 . . . . 5
958, 94eqeltri 2541 . . . 4
96 raleq 3054 . . . . . 6
97 raleq 3054 . . . . . . 7
9897raleqbi1dv 3062 . . . . . 6
9996, 98anbi12d 710 . . . . 5
100 raleq 3054 . . . . . 6
101100exbidv 1714 . . . . 5
10299, 101imbi12d 320 . . . 4
10395, 102spcv 3200 . . 3
10476, 103sylbi 195 . 2
10510, 75, 104mp2ani 678 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E!weu 2282  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  <.cop 4035  U.cuni 4249  X.cxp 5002
This theorem is referenced by:  dfac5lem5  8529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-opab 4511  df-xp 5010
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