MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac8alem Unicode version

Theorem dfac8alem 8431
Description: Lemma for dfac8a 8432. If the power set of a set has a choice function, then the set is numerable. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac8alem.2
dfac8alem.3
Assertion
Ref Expression
dfac8alem
Distinct variable groups:   , , ,   ,   , ,

Proof of Theorem dfac8alem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3118 . . 3
2 difss 3630 . . . . . . . . . . . 12
3 elpw2g 4615 . . . . . . . . . . . 12
42, 3mpbiri 233 . . . . . . . . . . 11
5 neeq1 2738 . . . . . . . . . . . . 13
6 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
7 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
86, 7eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . 13
95, 8imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12
109rspcv 3206 . . . . . . . . . . 11
114, 10syl 16 . . . . . . . . . 10
12113imp 1190 . . . . . . . . 9
13 dfac8alem.2 . . . . . . . . . . . 12
1413tfr2 7086 . . . . . . . . . . 11
1513tfr1 7085 . . . . . . . . . . . . . 14
16 fnfun 5683 . . . . . . . . . . . . . 14
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
18 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
19 resfunexg 6137 . . . . . . . . . . . . 13
2017, 18, 19mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12
21 rneq 5233 . . . . . . . . . . . . . . . 16
22 df-ima 5017 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2321, 22syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423difeq2d 3621 . . . . . . . . . . . . . 14
2524fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . 13
26 dfac8alem.3 . . . . . . . . . . . . 13
27 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
2825, 26, 27fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . 12
2920, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
3014, 29syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
3130eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
3212, 31syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8
33323expia 1198 . . . . . . 7
3433com23 78 . . . . . 6
3534ralrimiv 2869 . . . . 5
3635ex 434 . . . 4
3715tz7.49c 7130 . . . . . 6
3837ex 434 . . . . 5
3918f1oen 7556 . . . . . . 7
40 isnumi 8348 . . . . . . 7
4139, 40sylan2 474 . . . . . 6
4241rexlimiva 2945 . . . . 5
4338, 42syl6 33 . . . 4
4436, 43syld 44 . . 3
451, 44syl 16 . 2
4645exlimdv 1724 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   con0 4883  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  recscrecs 7060   cen 7533   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  dfac8a  8432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-recs 7061  df-en 7537  df-card 8341
  Copyright terms: Public domain W3C validator