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Theorem dfac9 8537
Description: Equivalence of the axiom of choice with a statement related to ac9 8884; definition AC3 of [Schechter] p. 139. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac9
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem dfac9
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 8523 . 2
2 vex 3112 . . . . . . 7
32rnex 6734 . . . . . 6
4 raleq 3054 . . . . . . 7
54exbidv 1714 . . . . . 6
63, 5spcv 3200 . . . . 5
7 df-nel 2655 . . . . . . . . . . . . . . 15
87biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14
98ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13
10 fvelrn 6024 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1110adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15
12 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . 15
1311, 12syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . 14
1413necon3bd 2669 . . . . . . . . . . . . 13
159, 14mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
1615adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
17 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13
1817, 10sylan 471 . . . . . . . . . . . 12
19 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12
20 neeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . 14
21 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15
2321, 22eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . . 14
2420, 23imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13
2524rspcva 3208 . . . . . . . . . . . 12
2618, 19, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
2716, 26mpd 15 . . . . . . . . . 10
2827ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9
292dmex 6733 . . . . . . . . . 10
30 mptelixpg 7526 . . . . . . . . . 10
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9
3228, 31sylibr 212 . . . . . . . 8
33 ne0i 3790 . . . . . . . 8
3432, 33syl 16 . . . . . . 7
3534ex 434 . . . . . 6
3635exlimdv 1724 . . . . 5
376, 36syl5com 30 . . . 4
3837alrimiv 1719 . . 3
39 fnresi 5703 . . . . . . 7
40 fnfun 5683 . . . . . . 7
4139, 40ax-mp 5 . . . . . 6
42 neldifsn 4157 . . . . . 6
43 vex 3112 . . . . . . . . 9
44 difexg 4600 . . . . . . . . 9
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . 8
46 resiexg 6736 . . . . . . . 8
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . 7
48 funeq 5612 . . . . . . . . 9
49 rneq 5233 . . . . . . . . . . . . 13
50 rnresi 5355 . . . . . . . . . . . . 13
5149, 50syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . 12
5251eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11
5352notbid 294 . . . . . . . . . 10
547, 53syl5bb 257 . . . . . . . . 9
5548, 54anbi12d 710 . . . . . . . 8
56 dmeq 5208 . . . . . . . . . . . 12
57 dmresi 5334 . . . . . . . . . . . 12
5856, 57syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11
5958ixpeq1d 7501 . . . . . . . . . 10
60 fveq1 5870 . . . . . . . . . . . 12
61 fvresi 6097 . . . . . . . . . . . 12
6260, 61sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . 11
6362ixpeq2dva 7504 . . . . . . . . . 10
6459, 63eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
6564neeq1d 2734 . . . . . . . 8
6655, 65imbi12d 320 . . . . . . 7
6747, 66spcv 3200 . . . . . 6
6841, 42, 67mp2ani 678 . . . . 5
69 n0 3794 . . . . . 6
70 vex 3112 . . . . . . . . 9
7170elixp 7496 . . . . . . . 8
72 eldifsn 4155 . . . . . . . . . . . . . 14
7372imbi1i 325 . . . . . . . . . . . . 13
74 impexp 446 . . . . . . . . . . . . 13
7573, 74bitri 249 . . . . . . . . . . . 12
7675ralbii2 2886 . . . . . . . . . . 11
77 neeq1 2738 . . . . . . . . . . . . 13
78 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
79 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
8078, 79eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . 13
8177, 80imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12
8281cbvralv 3084 . . . . . . . . . . 11
8376, 82bitri 249 . . . . . . . . . 10
8483biimpi 194 . . . . . . . . 9
8584adantl 466 . . . . . . . 8
8671, 85sylbi 195 . . . . . . 7
8786eximi 1656 . . . . . 6
8869, 87sylbi 195 . . . . 5
8968, 88syl 16 . . . 4
9089alrimiv 1719 . . 3
9138, 90impbii 188 . 2
921, 91bitri 249 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  e/wnel 2653  A.wral 2807   cvv 3109  \cdif 3472   c0 3784  {csn 4029  e.cmpt 4510   cid 4795  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593  X_cixp 7489   wac 8517
This theorem is referenced by:  dfac14  20119  dfac21  31012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ixp 7490  df-ac 8518
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