MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfacacn Unicode version

Theorem dfacacn 8542
Description: A choice equivalent: every set has choice sets of every length. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfacacn

Proof of Theorem dfacacn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3112 . . . 4
2 acacni 8541 . . . 4
31, 2mpan2 671 . . 3
43alrimiv 1719 . 2
5 vex 3112 . . . . . . 7
6 difexg 4600 . . . . . . 7
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6
8 acneq 8445 . . . . . . 7
98eqeq1d 2459 . . . . . 6
107, 9spcv 3200 . . . . 5
115uniex 6596 . . . . . . 7
12 id 22 . . . . . . 7
1311, 12syl5eleqr 2552 . . . . . 6
14 eldifi 3625 . . . . . . . . 9
15 elssuni 4279 . . . . . . . . 9
1614, 15syl 16 . . . . . . . 8
17 eldifsni 4156 . . . . . . . 8
1816, 17jca 532 . . . . . . 7
1918rgen 2817 . . . . . 6
20 acni2 8448 . . . . . 6
2113, 19, 20sylancl 662 . . . . 5
225mptex 6143 . . . . . . 7
23 simpr 461 . . . . . . . . 9
24 eldifsn 4155 . . . . . . . . . . . 12
2524imbi1i 325 . . . . . . . . . . 11
26 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
27 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
2926, 27, 28fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . 14
3014, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
3130eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12
3231pm5.74i 245 . . . . . . . . . . 11
33 impexp 446 . . . . . . . . . . 11
3425, 32, 333bitr3i 275 . . . . . . . . . 10
3534ralbii2 2886 . . . . . . . . 9
3623, 35sylib 196 . . . . . . . 8
37 fvrn0 5893 . . . . . . . . . . 11
3837rgenw 2818 . . . . . . . . . 10
3927fmpt 6052 . . . . . . . . . 10
4038, 39mpbi 208 . . . . . . . . 9
41 ffn 5736 . . . . . . . . 9
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8
4336, 42jctil 537 . . . . . . 7
44 fneq1 5674 . . . . . . . . 9
45 fveq1 5870 . . . . . . . . . . . 12
4645eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
4746imbi2d 316 . . . . . . . . . 10
4847ralbidv 2896 . . . . . . . . 9
4944, 48anbi12d 710 . . . . . . . 8
5049spcegv 3195 . . . . . . 7
5122, 43, 50mpsyl 63 . . . . . 6
5251exlimiv 1722 . . . . 5
5310, 21, 523syl 20 . . . 4
5453alrimiv 1719 . . 3
55 dfac4 8524 . . 3
5654, 55sylibr 212 . 2
574, 56impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  U.cuni 4249  e.cmpt 4510  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  AC_wacn 8340   wac 8517
This theorem is referenced by:  dfac13  8543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-card 8341  df-acn 8344  df-ac 8518
  Copyright terms: Public domain W3C validator