MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfceil2 Unicode version

Theorem dfceil2 11968
Description: Alternative definition of the ceiling function using restricted iota. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
dfceil2
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem dfceil2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ceil 11930 . 2
2 zre 10893 . . . . . . 7
3 lenegcon2 10082 . . . . . . . 8
4 peano2re 9774 . . . . . . . . . . . 12
54anim2i 569 . . . . . . . . . . 11
65ancoms 453 . . . . . . . . . 10
7 ltnegcon1 10078 . . . . . . . . . 10
86, 7syl 16 . . . . . . . . 9
9 recn 9603 . . . . . . . . . . . 12
10 1cnd 9633 . . . . . . . . . . . 12
119, 10negdid 9967 . . . . . . . . . . 11
1211adantr 465 . . . . . . . . . 10
1312breq1d 4462 . . . . . . . . 9
14 renegcl 9905 . . . . . . . . . . . 12
1514adantr 465 . . . . . . . . . . 11
16 neg1rr 10665 . . . . . . . . . . . 12
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11
18 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
1915, 17, 18ltaddsubd 10177 . . . . . . . . . 10
20 recn 9603 . . . . . . . . . . . . 13
21 1cnd 9633 . . . . . . . . . . . . 13
2220, 21subnegd 9961 . . . . . . . . . . . 12
2322adantl 466 . . . . . . . . . . 11
2423breq2d 4464 . . . . . . . . . 10
2519, 24bitrd 253 . . . . . . . . 9
268, 13, 253bitrd 279 . . . . . . . 8
273, 26anbi12d 710 . . . . . . 7
282, 27sylan2 474 . . . . . 6
2928riotabidva 6274 . . . . 5
3029negeqd 9837 . . . 4
31 zbtwnre 11209 . . . . 5
32 breq2 4456 . . . . . . 7
33 breq1 4455 . . . . . . 7
3432, 33anbi12d 710 . . . . . 6
3534zriotaneg 11002 . . . . 5
3631, 35syl 16 . . . 4
37 flval 11931 . . . . . 6
3814, 37syl 16 . . . . 5
3938negeqd 9837 . . . 4
4030, 36, 393eqtr4rd 2509 . . 3
4140mpteq2ia 4534 . 2
421, 41eqtri 2486 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E!wreu 2809   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `cfv 5593  iota_crio 6256  (class class class)co 6296   cr 9512  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cmin 9828  -ucneg 9829   cz 10889   cfl 11927   cceil 11928
This theorem is referenced by:  ceilval2  11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fl 11929  df-ceil 11930
  Copyright terms: Public domain W3C validator