MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dff3 Unicode version

Theorem dff3 6044
Description: Alternate definition of a mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
dff3
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem dff3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fssxp 5748 . . 3
2 ffun 5738 . . . . . . . . 9
32adantr 465 . . . . . . . 8
4 fdm 5740 . . . . . . . . . 10
54eleq2d 2527 . . . . . . . . 9
65biimpar 485 . . . . . . . 8
7 funfvop 5999 . . . . . . . 8
83, 6, 7syl2anc 661 . . . . . . 7
9 df-br 4453 . . . . . . 7
108, 9sylibr 212 . . . . . 6
11 fvex 5881 . . . . . . 7
12 breq2 4456 . . . . . . 7
1311, 12spcev 3201 . . . . . 6
1410, 13syl 16 . . . . 5
15 funmo 5609 . . . . . . 7
162, 15syl 16 . . . . . 6
1716adantr 465 . . . . 5
18 eu5 2310 . . . . 5
1914, 17, 18sylanbrc 664 . . . 4
2019ralrimiva 2871 . . 3
211, 20jca 532 . 2
22 xpss 5114 . . . . . . . 8
23 sstr 3511 . . . . . . . 8
2422, 23mpan2 671 . . . . . . 7
25 df-rel 5011 . . . . . . 7
2624, 25sylibr 212 . . . . . 6
2726adantr 465 . . . . 5
28 df-ral 2812 . . . . . . 7
29 eumo 2313 . . . . . . . . . . . 12
3029imim2i 14 . . . . . . . . . . 11
3130adantl 466 . . . . . . . . . 10
32 df-br 4453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
33 ssel 3497 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3432, 33syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15
35 opelxp1 5037 . . . . . . . . . . . . . . 15
3634, 35syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14
3736exlimdv 1724 . . . . . . . . . . . . 13
3837con3d 133 . . . . . . . . . . . 12
39 exmo 2309 . . . . . . . . . . . . 13
4039ori 375 . . . . . . . . . . . 12
4138, 40syl6 33 . . . . . . . . . . 11
4241adantr 465 . . . . . . . . . 10
4331, 42pm2.61d 158 . . . . . . . . 9
4443ex 434 . . . . . . . 8
4544alimdv 1709 . . . . . . 7
4628, 45syl5bi 217 . . . . . 6
4746imp 429 . . . . 5
48 dffun6 5608 . . . . 5
4927, 47, 48sylanbrc 664 . . . 4
50 dmss 5207 . . . . . . 7
51 dmxpss 5443 . . . . . . 7
5250, 51syl6ss 3515 . . . . . 6
53 breq1 4455 . . . . . . . . . 10
5453eubidv 2304 . . . . . . . . 9
5554rspccv 3207 . . . . . . . 8
56 euex 2308 . . . . . . . . 9
57 vex 3112 . . . . . . . . . 10
5857eldm 5205 . . . . . . . . 9
5956, 58sylibr 212 . . . . . . . 8
6055, 59syl6 33 . . . . . . 7
6160ssrdv 3509 . . . . . 6
6252, 61anim12i 566 . . . . 5
63 eqss 3518 . . . . 5
6462, 63sylibr 212 . . . 4
65 df-fn 5596 . . . 4
6649, 64, 65sylanbrc 664 . . 3
67 rnss 5236 . . . . 5
68 rnxpss 5444 . . . . 5
6967, 68syl6ss 3515 . . . 4
7069adantr 465 . . 3
71 df-f 5597 . . 3
7266, 70, 71sylanbrc 664 . 2
7321, 72impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E!weu 2282  E*wmo 2283  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  Relwrel 5009  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593
This theorem is referenced by:  dff4  6045  seqomlem2  7135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator