MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffi2 Unicode version

Theorem dffi2 7903
Description: The set of finite intersections is the smallest set that contains and is closed under pairwise intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
dffi2
Distinct variable groups:   , , ,   , ,

Proof of Theorem dffi2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3118 . 2
2 vex 3112 . . . . . . . . . 10
3 elfi 7893 . . . . . . . . . 10
42, 3mpan 670 . . . . . . . . 9
54biimpd 207 . . . . . . . 8
6 df-rex 2813 . . . . . . . . 9
7 fiint 7817 . . . . . . . . . . . 12
8 inss1 3717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
98sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
109elpwid 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11103ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1311, 12sstrd 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14 eqvisset 3117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
15 intex 4608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1614, 15sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17163ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18 inss2 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1918sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
20193ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2113, 17, 203jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
22213expib 1199 . . . . . . . . . . . . . . . 16
23 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2422, 23syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15
25 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2625biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
2924, 28syldd 66 . . . . . . . . . . . . . 14
3029com23 78 . . . . . . . . . . . . 13
3130alimdv 1709 . . . . . . . . . . . 12
327, 31syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11
3332imp 429 . . . . . . . . . 10
34 19.23v 1760 . . . . . . . . . 10
3533, 34sylib 196 . . . . . . . . 9
366, 35syl5bi 217 . . . . . . . 8
375, 36sylan9 657 . . . . . . 7
3837ssrdv 3509 . . . . . 6
3938ex 434 . . . . 5
4039alrimiv 1719 . . . 4
41 ssintab 4303 . . . 4
4240, 41sylibr 212 . . 3
43 ssfii 7899 . . . . 5
44 fiin 7902 . . . . . . 7
4544rgen2a 2884 . . . . . 6
4645a1i 11 . . . . 5
47 fvex 5881 . . . . . 6
48 sseq2 3525 . . . . . . 7
49 eleq2 2530 . . . . . . . . 9
5049raleqbi1dv 3062 . . . . . . . 8
5150raleqbi1dv 3062 . . . . . . 7
5248, 51anbi12d 710 . . . . . 6
5347, 52elab 3246 . . . . 5
5443, 46, 53sylanbrc 664 . . . 4
55 intss1 4301 . . . 4
5654, 55syl 16 . . 3
5742, 56eqssd 3520 . 2
581, 57syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  |^|cint 4286  `cfv 5593   cfn 7536   cfi 7890
This theorem is referenced by:  fiss  7904  inficl  7905  dffi3  7911  fbssfi  20338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540  df-fi 7891
  Copyright terms: Public domain W3C validator