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Theorem dffv2 5946
Description: Alternate definition of function value df-fv 5601 that doesn't require dummy variables. (Contributed by NM, 4-Aug-2010.)
Assertion
Ref Expression
dffv2

Proof of Theorem dffv2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snidb 4056 . . . . 5
2 fvres 5885 . . . . 5
31, 2sylbi 195 . . . 4
4 fvprc 5865 . . . . 5
5 fvprc 5865 . . . . 5
64, 5eqtr4d 2501 . . . 4
73, 6pm2.61i 164 . . 3
8 funfv 5940 . . . 4
9 df-fun 5595 . . . . . . . . . . . . 13
109simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12
11 ssdif0 3885 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11sylib 196 . . . . . . . . . . 11
1312unieqd 4259 . . . . . . . . . 10
14 uni0 4276 . . . . . . . . . 10
1513, 14syl6eq 2514 . . . . . . . . 9
1615unieqd 4259 . . . . . . . 8
1716, 14syl6eq 2514 . . . . . . 7
1817difeq2d 3621 . . . . . 6
19 resima 5311 . . . . . . 7
20 dif0 3898 . . . . . . 7
2119, 20eqtr4i 2489 . . . . . 6
2218, 21syl6reqr 2517 . . . . 5
2322unieqd 4259 . . . 4
248, 23eqtrd 2498 . . 3
257, 24syl5eqr 2512 . 2
26 nfunsn 5902 . . 3
27 relres 5306 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 dffun3 5604 . . . . . . . . . . . . . . 15
2927, 28mpbiran 918 . . . . . . . . . . . . . 14
30 iman 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3130albii 1640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32 alnex 1614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3331, 32bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3433exbii 1667 . . . . . . . . . . . . . . . 16
35 exnal 1648 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3634, 35bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . 15
3736albii 1640 . . . . . . . . . . . . . 14
38 alnex 1614 . . . . . . . . . . . . . 14
3929, 37, 383bitrri 272 . . . . . . . . . . . . 13
4039con1bii 331 . . . . . . . . . . . 12
41 sp 1859 . . . . . . . . . . . . 13
4241eximi 1656 . . . . . . . . . . . 12
4340, 42sylbi 195 . . . . . . . . . . 11
44 snssi 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
45 residm 5310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4645dmeqi 5209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
47 ssdmres 5300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4847biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4946, 48syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5044, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
52 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5351, 52breldm 5212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
54 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
55 elsn 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5654, 55syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5756biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5850, 53, 57syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5958breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6059biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6160ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15
6261pm2.43d 48 . . . . . . . . . . . . . 14
6362anim1d 564 . . . . . . . . . . . . 13
6463eximdv 1710 . . . . . . . . . . . 12
6564exlimdv 1724 . . . . . . . . . . 11
6643, 65mpan9 469 . . . . . . . . . 10
6719eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . . 13
68 elimasni 5369 . . . . . . . . . . . . 13
6967, 68sylbir 213 . . . . . . . . . . . 12
70 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7170, 52uniop 4755 . . . . . . . . . . . . . . . 16
72 opex 4716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7372unisn 4264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7427brrelexi 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
75 brcnvg 5188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7670, 74, 75sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7776biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7874adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
79 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
80 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8179, 80anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8281rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8378, 82mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8483ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8577, 84syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8685anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8786an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
88 eldif 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
89 rexv 3124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9070, 52brco 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
91 df-br 4453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9289, 90, 913bitr2ri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9352ideq 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
94 df-br 4453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
95 equcom 1794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9693, 94, 953bitr3i 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9796notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9892, 97anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9988, 98bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10087, 99sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101 snssi 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102 uniss 4270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103100, 101, 1023syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10473, 103syl5eqssr 3548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105104unissd 4273 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10671, 105syl5eqssr 3548 . . . . . . . . . . . . . . 15
10770, 52prss 4184 . . . . . . . . . . . . . . 15
108106, 107sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14
109108simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13
110109ex 434 . . . . . . . . . . . 12
11169, 110syl5 32 . . . . . . . . . . 11
112111exlimiv 1722 . . . . . . . . . 10
11366, 112syl 16 . . . . . . . . 9
114113ssrdv 3509 . . . . . . . 8
115 ssdif0 3885 . . . . . . . 8
116114, 115sylib 196 . . . . . . 7
117116ex 434 . . . . . 6
118 ndmima 5378 . . . . . . . . 9
11919, 118syl5eqr 2512 . . . . . . . 8
120119difeq1d 3620 . . . . . . 7
121 0dif 3899 . . . . . . 7
122120, 121syl6eq 2514 . . . . . 6
123117, 122pm2.61d1 159 . . . . 5
124123unieqd 4259 . . . 4
125124, 14syl6eq 2514 . . 3
12626, 125eqtr4d 2501 . 2
12725, 126pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  {cpr 4031  <.cop 4035  U.cuni 4249   class class class wbr 4452   cid 4795  `'ccnv 5003  domcdm 5004  |`cres 5006  "cima 5007  o.ccom 5008  Relwrel 5009  Funwfun 5587  `cfv 5593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601
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