Theorem dfnn2 10574

Description: Alternate definition of the set of positive integers. This was our original definition, before the current df-nn 10562 replaced it. This definition requires the axiom of infinity to ensure it has the properties we expect. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dfnn2

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem dfnn2

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 9612	. . . . 5
2	1	elintab 4297	. . . 4
3		simpl 457	. . . 4
4	2, 3	mpgbir 1622	. . 3
5		oveq1 6303	. . . . . . . . . 10
6	5	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9
7	6	rspccv 3207	. . . . . . . 8
8	7	adantl 466	. . . . . . 7
9	8	a2i 13	. . . . . 6
10	9	alimi 1633	. . . . 5
11		vex 3112	. . . . . 6
12	11	elintab 4297	. . . . 5
13		ovex 6324	. . . . . 6
14	13	elintab 4297	. . . . 5
15	10, 12, 14	3imtr4i 266	. . . 4
16	15	rgen 2817	. . 3
17		peano5nni 10564	. . 3
18	4, 16, 17	mp2an 672	. 2
19		1nn 10572	. . . 4
20		peano2nn 10573	. . . . 5
21	20	rgen 2817	. . . 4
22		nnex 10567	. . . . 5
23		eleq2 2530	. . . . . 6
24		eleq2 2530	. . . . . . 7
25	24	raleqbi1dv 3062	. . . . . 6
26	23, 25	anbi12d 710	. . . . 5
27	22, 26	elab 3246	. . . 4
28	19, 21, 27	mpbir2an 920	. . 3
29		intss1 4301	. . 3
30	28, 29	ax-mp 5	. 2
31	18, 30	eqssi 3519	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  C_wss 3475  |^|cint 4286  (class class class)co 6296  1c1 9514  caddc 9516  cn 10561

This theorem is referenced by:  dfnn3  10575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-nn 10562