MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfom3 Unicode version

Theorem dfom3 8085
Description: The class of natural numbers omega can be defined as the smallest "inductive set," which is valid provided we assume the Axiom of Infinity. Definition 6.3 of [Eisenberg] p. 82. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
dfom3
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem dfom3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4582 . . . . 5
21elintab 4297 . . . 4
3 simpl 457 . . . 4
42, 3mpgbir 1622 . . 3
5 suceq 4948 . . . . . . . . . 10
65eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
76rspccv 3207 . . . . . . . 8
87adantl 466 . . . . . . 7
98a2i 13 . . . . . 6
109alimi 1633 . . . . 5
11 vex 3112 . . . . . 6
1211elintab 4297 . . . . 5
1311sucex 6646 . . . . . 6
1413elintab 4297 . . . . 5
1510, 12, 143imtr4i 266 . . . 4
1615rgenw 2818 . . 3
17 peano5 6723 . . 3
184, 16, 17mp2an 672 . 2
19 peano1 6719 . . . 4
20 peano2 6720 . . . . 5
2120rgen 2817 . . . 4
22 omex 8081 . . . . . 6
23 eleq2 2530 . . . . . . . 8
24 eleq2 2530 . . . . . . . . 9
2524raleqbi1dv 3062 . . . . . . . 8
2623, 25anbi12d 710 . . . . . . 7
27 eleq2 2530 . . . . . . 7
2826, 27imbi12d 320 . . . . . 6
2922, 28spcv 3200 . . . . 5
3012, 29sylbi 195 . . . 4
3119, 21, 30mp2ani 678 . . 3
3231ssriv 3507 . 2
3318, 32eqssi 3519 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  C_wss 3475   c0 3784  |^|cint 4286  succsuc 4885   com 6700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-om 6701
  Copyright terms: Public domain W3C validator