MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfphi2 Unicode version

Theorem dfphi2 14304
Description: Alternate definition of the Euler function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
dfphi2
Distinct variable group:   ,N

Proof of Theorem dfphi2
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 11187 . 2
2 phi1 14303 . . . . 5
3 0z 10900 . . . . . 6
4 hashsng 12438 . . . . . 6
53, 4ax-mp 5 . . . . 5
6 rabid2 3035 . . . . . . 7
7 elsni 4054 . . . . . . . . 9
87oveq1d 6311 . . . . . . . 8
9 gcd1 14170 . . . . . . . . 9
103, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8
118, 10syl6eq 2514 . . . . . . 7
126, 11mprgbir 2821 . . . . . 6
1312fveq2i 5874 . . . . 5
142, 5, 133eqtr2i 2492 . . . 4
15 fveq2 5871 . . . 4
16 oveq2 6304 . . . . . . 7
17 fzo01 11897 . . . . . . 7
1816, 17syl6eq 2514 . . . . . 6
19 oveq2 6304 . . . . . . 7
2019eqeq1d 2459 . . . . . 6
2118, 20rabeqbidv 3104 . . . . 5
2221fveq2d 5875 . . . 4
2314, 15, 223eqtr4a 2524 . . 3
24 eluz2nn 11148 . . . . 5
25 phival 14297 . . . . 5
2624, 25syl 16 . . . 4
27 fzossfz 11846 . . . . . . . . . . 11
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10
29 sseqin2 3716 . . . . . . . . . 10
3028, 29sylib 196 . . . . . . . . 9
31 fzo0ss1 11855 . . . . . . . . . 10
32 sseqin2 3716 . . . . . . . . . 10
3331, 32mpbi 208 . . . . . . . . 9
3430, 33syl6eqr 2516 . . . . . . . 8
35 rabeq 3103 . . . . . . . 8
3634, 35syl 16 . . . . . . 7
37 inrab2 3770 . . . . . . 7
38 inrab2 3770 . . . . . . 7
3936, 37, 383eqtr4g 2523 . . . . . 6
40 phibndlem 14300 . . . . . . . 8
41 eluzelz 11119 . . . . . . . . 9
42 fzoval 11830 . . . . . . . . 9
4341, 42syl 16 . . . . . . . 8
4440, 43sseqtr4d 3540 . . . . . . 7
45 df-ss 3489 . . . . . . 7
4644, 45sylib 196 . . . . . 6
47 gcd0id 14161 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4841, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
49 eluzelre 11120 . . . . . . . . . . . . . . . 16
50 eluzge2nn0 11149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5150nn0ge0d 10880 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5249, 51absidd 13254 . . . . . . . . . . . . . . 15
5348, 52eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14
54 eluz2b3 11184 . . . . . . . . . . . . . . 15
5554simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14
5653, 55eqnetrd 2750 . . . . . . . . . . . . 13
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
587oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14
5958, 17eleq2s 2565 . . . . . . . . . . . . 13
6059neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12
6157, 60syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11
6261necon2bd 2672 . . . . . . . . . 10
63 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
64 1z 10919 . . . . . . . . . . . 12
65 fzospliti 11857 . . . . . . . . . . . 12
6663, 64, 65sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
6766ord 377 . . . . . . . . . 10
6862, 67syld 44 . . . . . . . . 9
6968ralrimiva 2871 . . . . . . . 8
70 rabss 3576 . . . . . . . 8
7169, 70sylibr 212 . . . . . . 7
72 df-ss 3489 . . . . . . 7
7371, 72sylib 196 . . . . . 6
7439, 46, 733eqtr3d 2506 . . . . 5
7574fveq2d 5875 . . . 4
7626, 75eqtrd 2498 . . 3
7723, 76jaoi 379 . 2
781, 77sylbi 195 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  {crab 2811  i^icin 3474  C_wss 3475  {csn 4029  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514   cmin 9828   cn 10561  2c2 10610   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cfzo 11824   chash 12405   cabs 13067   cgcd 14144   cphi 14294
This theorem is referenced by:  phimullem  14309  eulerth  14313  odngen  16597  znunithash  18603  hashgcdeq  31158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-phi 14296
  Copyright terms: Public domain W3C validator