MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfsup2 Unicode version

Theorem dfsup2 7922
Description: Quantifier free definition of supremum. (Contributed by Scott Fenton, 19-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfsup2

Proof of Theorem dfsup2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-sup 7921 . 2
2 dfrab3 3772 . . . 4
3 abeq1 2582 . . . . . . 7
4 vex 3112 . . . . . . . . 9
5 eldif 3485 . . . . . . . . 9
64, 5mpbiran 918 . . . . . . . 8
74elima 5347 . . . . . . . . . . . 12
8 dfrex2 2908 . . . . . . . . . . . 12
97, 8bitri 249 . . . . . . . . . . 11
104elima 5347 . . . . . . . . . . . 12
11 dfrex2 2908 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11bitri 249 . . . . . . . . . . 11
139, 12orbi12i 521 . . . . . . . . . 10
14 elun 3644 . . . . . . . . . 10
15 ianor 488 . . . . . . . . . 10
1613, 14, 153bitr4i 277 . . . . . . . . 9
1716con2bii 332 . . . . . . . 8
18 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
1918, 4brcnv 5190 . . . . . . . . . . 11
2019notbii 296 . . . . . . . . . 10
2120ralbii 2888 . . . . . . . . 9
22 impexp 446 . . . . . . . . . . 11
23 eldif 3485 . . . . . . . . . . . 12
2423imbi1i 325 . . . . . . . . . . 11
2518elima 5347 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2726, 18brcnv 5190 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2827rexbii 2959 . . . . . . . . . . . . . . 15
2925, 28bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14
3029imbi2i 312 . . . . . . . . . . . . 13
31 con34b 292 . . . . . . . . . . . . 13
3230, 31bitr3i 251 . . . . . . . . . . . 12
3332imbi2i 312 . . . . . . . . . . 11
3422, 24, 333bitr4i 277 . . . . . . . . . 10
3534ralbii2 2886 . . . . . . . . 9
3621, 35anbi12i 697 . . . . . . . 8
376, 17, 363bitr2ri 274 . . . . . . 7
383, 37mpgbir 1622 . . . . . 6
3938ineq2i 3696 . . . . 5
40 invdif 3738 . . . . 5
4139, 40eqtri 2486 . . . 4
422, 41eqtri 2486 . . 3
4342unieqi 4258 . 2
441, 43eqtri 2486 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  "cima 5007  supcsup 7920
This theorem is referenced by:  nfsup  7931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-sup 7921
  Copyright terms: Public domain W3C validator