Theorem dfsup2OLD 7923

Description: Quantifier-free definition of supremum. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dfsup2OLD

Proof of Theorem dfsup2OLD

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sup 7921	. 2
2		dfrab2 3773	. . . 4
3		incom 3690	. . . 4
4		abeq1 2582	. . . . . . 7
5		vex 3112	. . . . . . . . 9
6		eldif 3485	. . . . . . . . 9
7	5, 6	mpbiran 918	. . . . . . . 8
8		elun 3644	. . . . . . . . . 10
9	8	notbii 296	. . . . . . . . 9
10		ioran 490	. . . . . . . . 9
11	9, 10	bitri 249	. . . . . . . 8
12	5	elima 5347	. . . . . . . . . . . 12
13		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . 14
14	13, 5	brcnv 5190	. . . . . . . . . . . . 13
15	14	rexbii 2959	. . . . . . . . . . . 12
16	12, 15	bitri 249	. . . . . . . . . . 11
17	16	notbii 296	. . . . . . . . . 10
18		ralnex 2903	. . . . . . . . . 10
19	17, 18	bitr4i 252	. . . . . . . . 9
20	5	elima 5347	. . . . . . . . . . . 12
21		brdif 4502	. . . . . . . . . . . . . 14
22		brxp 5035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
23	5, 22	mpbiran2 919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
24	13	elima 5347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
25		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
26	25, 13	brcnv 5190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27	26	rexbii 2959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
28	23, 24, 27	3bitri 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16
29	28	notbii 296	. . . . . . . . . . . . . . 15
30	29	anbi2i 694	. . . . . . . . . . . . . 14
31	21, 30	bitri 249	. . . . . . . . . . . . 13
32	31	rexbii 2959	. . . . . . . . . . . 12
33	20, 32	bitri 249	. . . . . . . . . . 11
34	33	notbii 296	. . . . . . . . . 10
35		rexanali 2910	. . . . . . . . . . 11
36	35	con2bii 332	. . . . . . . . . 10
37	34, 36	bitr4i 252	. . . . . . . . 9
38	19, 37	anbi12i 697	. . . . . . . 8
39	7, 11, 38	3bitrri 272	. . . . . . 7
40	4, 39	mpgbir 1622	. . . . . 6
41	40	ineq2i 3696	. . . . 5
42		invdif 3738	. . . . 5
43	41, 42	eqtri 2486	. . . 4
44	2, 3, 43	3eqtri 2490	. . 3
45	44	unieqi 4258	. 2
46	1, 45	eqtri 2486	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  "cima 5007  supcsup 7920

This theorem is referenced by:  dfsup3OLD  7924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-sup 7921