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Theorem dftpos4 6993
Description: Alternate definition of tpos. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftpos4
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem dftpos4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-tpos 6974 . . 3
2 relcnv 5379 . . . . . . 7
3 df-rel 5011 . . . . . . 7
42, 3mpbi 208 . . . . . 6
5 unss1 3672 . . . . . 6
6 resmpt 5328 . . . . . 6
74, 5, 6mp2b 10 . . . . 5
8 resss 5302 . . . . 5
97, 8eqsstr3i 3534 . . . 4
10 coss2 5164 . . . 4
119, 10ax-mp 5 . . 3
121, 11eqsstri 3533 . 2
13 relco 5510 . . 3
14 vex 3112 . . . . 5
15 vex 3112 . . . . 5
1614, 15opelco 5179 . . . 4
17 vex 3112 . . . . . . . . 9
18 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
19 sneq 4039 . . . . . . . . . . . . 13
2019cnveqd 5183 . . . . . . . . . . . 12
2120unieqd 4259 . . . . . . . . . . 11
2221eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10
2318, 22anbi12d 710 . . . . . . . . 9
24 eqeq1 2461 . . . . . . . . . 10
2524anbi2d 703 . . . . . . . . 9
26 df-mpt 4512 . . . . . . . . 9
2714, 17, 23, 25, 26brab 4775 . . . . . . . 8
28 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12
2917, 15breldm 5212 . . . . . . . . . . . . 13
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
3128, 30eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . 11
32 elvv 5063 . . . . . . . . . . . . . 14
33 opswap 5500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3433eleq1i 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3515, 17opelcnv 5189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3634, 35bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16
37 sneq 4039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3837cnveqd 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3938unieqd 4259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4039eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
41 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4240, 41bibi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4336, 42mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . 15
4443exlimivv 1723 . . . . . . . . . . . . . 14
4532, 44sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13
4645biimpcd 224 . . . . . . . . . . . 12
47 elun1 3670 . . . . . . . . . . . 12
4846, 47syl6 33 . . . . . . . . . . 11
4931, 48syl 16 . . . . . . . . . 10
50 elun2 3671 . . . . . . . . . . 11
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10
52 simpll 753 . . . . . . . . . . 11
53 elun 3644 . . . . . . . . . . 11
5452, 53sylib 196 . . . . . . . . . 10
5549, 51, 54mpjaod 381 . . . . . . . . 9
56 simpr 461 . . . . . . . . . 10
5728, 56eqbrtrrd 4474 . . . . . . . . 9
5855, 57jca 532 . . . . . . . 8
5927, 58sylanb 472 . . . . . . 7
60 brtpos2 6980 . . . . . . . 8
6115, 60ax-mp 5 . . . . . . 7
6259, 61sylibr 212 . . . . . 6
63 df-br 4453 . . . . . 6
6462, 63sylib 196 . . . . 5
6564exlimiv 1722 . . . 4
6616, 65sylbi 195 . . 3
6713, 66relssi 5099 . 2
6812, 67eqssi 3519 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  |`cres 5006  o.ccom 5008  Relwrel 5009  tposctpos 6973
This theorem is referenced by:  tposco  7005  nftpos  7009  oftpos  18954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601  df-tpos 6974
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