MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dif1card Unicode version

Theorem dif1card 8409
Description: The cardinality of a nonempty finite set is one greater than the cardinality of the set with one element removed. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
dif1card

Proof of Theorem dif1card
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diffi 7771 . . 3
2 isfi 7559 . . . 4
3 simp3 998 . . . . . . . . . . 11
4 en2sn 7615 . . . . . . . . . . . 12
543adant3 1016 . . . . . . . . . . 11
6 incom 3690 . . . . . . . . . . . . 13
7 disjdif 3900 . . . . . . . . . . . . 13
86, 7eqtri 2486 . . . . . . . . . . . 12
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11
10 nnord 6708 . . . . . . . . . . . . . 14
11 ordirr 4901 . . . . . . . . . . . . . 14
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
13 disjsn 4090 . . . . . . . . . . . . 13
1412, 13sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12
15143ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . 11
16 unen 7618 . . . . . . . . . . 11
173, 5, 9, 15, 16syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10
18 difsnid 4176 . . . . . . . . . . . 12
19 df-suc 4889 . . . . . . . . . . . . . 14
2019eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . 13
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
2218, 21breq12d 4465 . . . . . . . . . . 11
23223ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
2417, 23mpbid 210 . . . . . . . . 9
25 peano2 6720 . . . . . . . . . 10
26253ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9
27 cardennn 8385 . . . . . . . . 9
2824, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . 8
29 cardennn 8385 . . . . . . . . . . 11
3029ancoms 453 . . . . . . . . . 10
31303adant1 1014 . . . . . . . . 9
32 suceq 4948 . . . . . . . . 9
3331, 32syl 16 . . . . . . . 8
3428, 33eqtr4d 2501 . . . . . . 7
35343expib 1199 . . . . . 6
3635com12 31 . . . . 5
3736rexlimiva 2945 . . . 4
382, 37sylbi 195 . . 3
391, 38syl 16 . 2
4039imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  Ordword 4882  succsuc 4885  `cfv 5593   com 6700   cen 7533   cfn 7536   ccrd 8337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341
  Copyright terms: Public domain W3C validator