MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dif1enOLD Unicode version

Theorem dif1enOLD 7772
Description: If a set is equinumerous to the successor of a natural number , then with an element removed is equinumerous to . (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
dif1en.1
Assertion
Ref Expression
dif1enOLD

Proof of Theorem dif1enOLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2 6720 . . . . 5
2 breq2 4456 . . . . . . 7
32rspcev 3210 . . . . . 6
4 isfi 7559 . . . . . 6
53, 4sylibr 212 . . . . 5
61, 5sylan 471 . . . 4
7 diffi 7771 . . . . 5
8 isfi 7559 . . . . 5
97, 8sylib 196 . . . 4
106, 9syl 16 . . 3
11103adant3 1016 . 2
12 vex 3112 . . . . . . . 8
13 en2sn 7615 . . . . . . . 8
1412, 13mpan2 671 . . . . . . 7
15 nnord 6708 . . . . . . . 8
16 orddisj 4921 . . . . . . . 8
1715, 16syl 16 . . . . . . 7
18 incom 3690 . . . . . . . . . 10
19 disjdif 3900 . . . . . . . . . 10
2018, 19eqtri 2486 . . . . . . . . 9
21 unen 7618 . . . . . . . . . 10
2221an4s 826 . . . . . . . . 9
2320, 22mpanl2 681 . . . . . . . 8
2423expcom 435 . . . . . . 7
2514, 17, 24syl2an 477 . . . . . 6
26253ad2antl3 1160 . . . . 5
27 difsnid 4176 . . . . . . . . 9
28 df-suc 4889 . . . . . . . . . . 11
2928eqcomi 2470 . . . . . . . . . 10
3029a1i 11 . . . . . . . . 9
3127, 30breq12d 4465 . . . . . . . 8
32313ad2ant3 1019 . . . . . . 7
3332adantr 465 . . . . . 6
34 ensym 7584 . . . . . . . . . . 11
35 entr 7587 . . . . . . . . . . . . 13
36 peano2 6720 . . . . . . . . . . . . . 14
37 nneneq 7720 . . . . . . . . . . . . . 14
3836, 37sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13
3935, 38syl5ib 219 . . . . . . . . . . . 12
4039expd 436 . . . . . . . . . . 11
4134, 40syl5 32 . . . . . . . . . 10
421, 41sylan 471 . . . . . . . . 9
4342imp 429 . . . . . . . 8
4443an32s 804 . . . . . . 7
45443adantl3 1154 . . . . . 6
4633, 45sylbid 215 . . . . 5
47 peano4 6722 . . . . . . 7
4847biimpd 207 . . . . . 6
49483ad2antl1 1158 . . . . 5
5026, 46, 493syld 55 . . . 4
51 breq2 4456 . . . . 5
5251biimprcd 225 . . . 4
5350, 52sylcom 29 . . 3
5453rexlimdva 2949 . 2
5511, 54mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  Ordword 4882  succsuc 4885   com 6700   cen 7533   cfn 7536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540
  Copyright terms: Public domain W3C validator