Theorem difelfznle 11818

Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers increased by the upper bound is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
difelfznle

Proof of Theorem difelfznle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 11798	. . . . . 6
2		nn0addcl 10856	. . . . . . . 8
3	2	nn0zd 10992	. . . . . . 7
4	3	3adant3 1016	. . . . . 6
5	1, 4	sylbi 195	. . . . 5
6		elfzelz 11717	. . . . 5
7		zsubcl 10931	. . . . 5
8	5, 6, 7	syl2anr 478	. . . 4
9	8	3adant3 1016	. . 3
10	6	zred 10994	. . . . . . 7
11	10	adantr 465	. . . . . 6
12		elfzel2 11715	. . . . . . . 8
13	12	zred 10994	. . . . . . 7
14	13	adantr 465	. . . . . 6
15		nn0readdcl 10883	. . . . . . . . 9
16	15	3adant3 1016	. . . . . . . 8
17	1, 16	sylbi 195	. . . . . . 7
18	17	adantl 466	. . . . . 6
19		elfzle2 11719	. . . . . . 7
20		elfzle1 11718	. . . . . . . 8
21		nn0re 10829	. . . . . . . . . . . 12
22		nn0re 10829	. . . . . . . . . . . 12
23	21, 22	anim12ci 567	. . . . . . . . . . 11
24	23	3adant3 1016	. . . . . . . . . 10
25	1, 24	sylbi 195	. . . . . . . . 9
26		addge02 10088	. . . . . . . . 9
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . 8
28	20, 27	mpbid 210	. . . . . . 7
29	19, 28	anim12i 566	. . . . . 6
30		letr 9699	. . . . . . 7
31	30	imp 429	. . . . . 6
32	11, 14, 18, 29, 31	syl31anc 1231	. . . . 5
33	32	3adant3 1016	. . . 4
34		zre 10893	. . . . . . . 8
35	21, 22	anim12i 566	. . . . . . . . . . 11
36	35	3adant3 1016	. . . . . . . . . 10
37	1, 36	sylbi 195	. . . . . . . . 9
38		readdcl 9596	. . . . . . . . 9
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . 8
40	34, 39	anim12ci 567	. . . . . . 7
41	6, 40	sylan 471	. . . . . 6
42	41	3adant3 1016	. . . . 5
43		subge0 10090	. . . . 5
44	42, 43	syl 16	. . . 4
45	33, 44	mpbird 232	. . 3
46		elnn0z 10902	. . 3
47	9, 45, 46	sylanbrc 664	. 2
48		elfz3nn0 11801	. . 3
49	48	3ad2ant1 1017	. 2
50		elfzelz 11717	. . . . . 6
51		zre 10893	. . . . . . 7
52		ltnle 9685	. . . . . . . . 9
53	52	ancoms 453	. . . . . . . 8
54		ltle 9694	. . . . . . . . 9
55	54	ancoms 453	. . . . . . . 8
56	53, 55	sylbird 235	. . . . . . 7
57	34, 51, 56	syl2an 477	. . . . . 6
58	6, 50, 57	syl2an 477	. . . . 5
59	58	3impia 1193	. . . 4
60	50	zred 10994	. . . . . . 7
61	60	adantl 466	. . . . . 6
62	61, 11, 14	leadd1d 10171	. . . . 5
63	62	3adant3 1016	. . . 4
64	59, 63	mpbid 210	. . 3
65	18, 11, 14	lesubadd2d 10176	. . . 4
66	65	3adant3 1016	. . 3
67	64, 66	mpbird 232	. 2
68		elfz2nn0 11798	. 2
69	47, 49, 67, 68	syl3anbrc 1180	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cr 9512  0cc0 9513  caddc 9516  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  cn0 10820  cz 10889  cfz 11701

This theorem is referenced by:  2cshwcshw  12793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702