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Theorem difreicc 11681
Description: The class difference of and a closed interval. (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)
Assertion
Ref Expression
difreicc

Proof of Theorem difreicc
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3485 . . 3
2 rexr 9660 . . . . . . . . . 10
3 rexr 9660 . . . . . . . . . 10
4 elicc1 11602 . . . . . . . . . 10
52, 3, 4syl2an 477 . . . . . . . . 9
65adantr 465 . . . . . . . 8
76notbid 294 . . . . . . 7
8 3anass 977 . . . . . . . . 9
98notbii 296 . . . . . . . 8
10 ianor 488 . . . . . . . . 9
11 rexr 9660 . . . . . . . . . . . 12
1211pm2.24d 143 . . . . . . . . . . 11
1312adantl 466 . . . . . . . . . 10
14 ianor 488 . . . . . . . . . . 11
1511ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14
16 mnflt 11362 . . . . . . . . . . . . . . 15
1716ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14
18 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16
19 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20 ltnle 9685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2120bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2218, 19, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
2322biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14
24 mnfxr 11352 . . . . . . . . . . . . . . 15
252ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 elioo1 11598 . . . . . . . . . . . . . . 15
2724, 25, 26sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14
2815, 17, 23, 27mpbir3and 1179 . . . . . . . . . . . . 13
2928ex 434 . . . . . . . . . . . 12
30 ltnle 9685 . . . . . . . . . . . . . 14
3130adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13
3211ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 ltpnf 11360 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15
363ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
37 pnfxr 11350 . . . . . . . . . . . . . . . 16
38 elioo1 11598 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3936, 37, 38sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15
4032, 33, 35, 39mpbir3and 1179 . . . . . . . . . . . . . 14
4140ex 434 . . . . . . . . . . . . 13
4231, 41sylbird 235 . . . . . . . . . . . 12
4329, 42orim12d 838 . . . . . . . . . . 11
4414, 43syl5bi 217 . . . . . . . . . 10
4513, 44jaod 380 . . . . . . . . 9
4610, 45syl5bi 217 . . . . . . . 8
479, 46syl5bi 217 . . . . . . 7
487, 47sylbid 215 . . . . . 6
4948expimpd 603 . . . . 5
50 elun 3644 . . . . 5
5149, 50syl6ibr 227 . . . 4
52 ioossre 11615 . . . . . . . . 9
53 ioossre 11615 . . . . . . . . 9
5452, 53unssi 3678 . . . . . . . 8
5554sseli 3499 . . . . . . 7
5655adantl 466 . . . . . 6
57 elioo2 11599 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5824, 2, 57sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
6020biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6160ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6362com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
65643impd 1210 . . . . . . . . . . . . . 14
6659, 65sylbid 215 . . . . . . . . . . . . 13
673adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
6867, 37, 38sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14
69 xrltnle 9674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7069biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7170ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7271com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7473com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
753, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7675adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
77763impd 1210 . . . . . . . . . . . . . 14
7868, 77sylbid 215 . . . . . . . . . . . . 13
7966, 78orim12d 838 . . . . . . . . . . . 12
8050, 79syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11
8180imp 429 . . . . . . . . . 10
8281, 14sylibr 212 . . . . . . . . 9
8382intnand 916 . . . . . . . 8
8483, 8sylnibr 305 . . . . . . 7
852, 3anim12i 566 . . . . . . . . 9
8685adantr 465 . . . . . . . 8
874notbid 294 . . . . . . . 8
8886, 87syl 16 . . . . . . 7
8984, 88mpbird 232 . . . . . 6
9056, 89jca 532 . . . . 5
9190ex 434 . . . 4
9251, 91impbid 191 . . 3
931, 92syl5bb 257 . 2
9493eqrdv 2454 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  \cdif 3472  u.cun 3473   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512   cpnf 9646   cmnf 9647   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cioo 11558   cicc 11561
This theorem is referenced by:  icccld  21274  iccmbl  21976  mbfimaicc  22040  icccncfext  31690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-ioo 11562  df-icc 11565
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