Theorem difreicc 11681

Description: The class difference of and a closed interval. (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
difreicc

Proof of Theorem difreicc

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3485	. . 3
2		rexr 9660	. . . . . . . . . 10
3		rexr 9660	. . . . . . . . . 10
4		elicc1 11602	. . . . . . . . . 10
5	2, 3, 4	syl2an 477	. . . . . . . . 9
6	5	adantr 465	. . . . . . . 8
7	6	notbid 294	. . . . . . 7
8		3anass 977	. . . . . . . . 9
9	8	notbii 296	. . . . . . . 8
10		ianor 488	. . . . . . . . 9
11		rexr 9660	. . . . . . . . . . . 12
12	11	pm2.24d 143	. . . . . . . . . . 11
13	12	adantl 466	. . . . . . . . . 10
14		ianor 488	. . . . . . . . . . 11
15	11	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14
16		mnflt 11362	. . . . . . . . . . . . . . 15
17	16	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14
18		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16
19		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20		ltnle 9685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21	20	bicomd 201	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22	18, 19, 21	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	22	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . 14
24		mnfxr 11352	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15
26		elioo1 11598	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	24, 25, 26	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14
28	15, 17, 23, 27	mpbir3and 1179	. . . . . . . . . . . . 13
29	28	ex 434	. . . . . . . . . . . 12
30		ltnle 9685	. . . . . . . . . . . . . 14
31	30	adantll 713	. . . . . . . . . . . . 13
32	11	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15
33		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15
34		ltpnf 11360	. . . . . . . . . . . . . . . 16
35	34	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15
36	3	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16
37		pnfxr 11350	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38		elioo1 11598	. . . . . . . . . . . . . . . 16
39	36, 37, 38	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . 15
40	32, 33, 35, 39	mpbir3and 1179	. . . . . . . . . . . . . 14
41	40	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13
42	31, 41	sylbird 235	. . . . . . . . . . . 12
43	29, 42	orim12d 838	. . . . . . . . . . 11
44	14, 43	syl5bi 217	. . . . . . . . . 10
45	13, 44	jaod 380	. . . . . . . . 9
46	10, 45	syl5bi 217	. . . . . . . 8
47	9, 46	syl5bi 217	. . . . . . 7
48	7, 47	sylbid 215	. . . . . 6
49	48	expimpd 603	. . . . 5
50		elun 3644	. . . . 5
51	49, 50	syl6ibr 227	. . . 4
52		ioossre 11615	. . . . . . . . 9
53		ioossre 11615	. . . . . . . . 9
54	52, 53	unssi 3678	. . . . . . . 8
55	54	sseli 3499	. . . . . . 7
56	55	adantl 466	. . . . . 6
57		elioo2 11599	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58	24, 2, 57	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15
59	58	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14
60	20	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61	60	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
63	62	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . 16
64	63	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15
65	64	3impd 1210	. . . . . . . . . . . . . 14
66	59, 65	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . 13
67	3	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	67, 37, 38	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . 14
69		xrltnle 9674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
70	69	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
71	70	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
72	71	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
74	73	com14 88	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
75	3, 74	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16
76	75	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15
77	76	3impd 1210	. . . . . . . . . . . . . 14
78	68, 77	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . 13
79	66, 78	orim12d 838	. . . . . . . . . . . 12
80	50, 79	syl5bi 217	. . . . . . . . . . 11
81	80	imp 429	. . . . . . . . . 10
82	81, 14	sylibr 212	. . . . . . . . 9
83	82	intnand 916	. . . . . . . 8
84	83, 8	sylnibr 305	. . . . . . 7
85	2, 3	anim12i 566	. . . . . . . . 9
86	85	adantr 465	. . . . . . . 8
87	4	notbid 294	. . . . . . . 8
88	86, 87	syl 16	. . . . . . 7
89	84, 88	mpbird 232	. . . . . 6
90	56, 89	jca 532	. . . . 5
91	90	ex 434	. . . 4
92	51, 91	impbid 191	. . 3
93	1, 92	syl5bb 257	. 2
94	93	eqrdv 2454	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  \cdif 3472  u.cun 3473   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cr 9512  cpnf 9646  cmnf 9647  cxr 9648  clt 9649  cle 9650  cioo 11558  cicc 11561

This theorem is referenced by:  icccld  21274  iccmbl  21976  mbfimaicc  22040  icccncfext  31690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-ioo 11562  df-icc 11565