MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difsnen Unicode version

Theorem difsnen 7619
Description: All decrements of a set are equinumerous. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
difsnen

Proof of Theorem difsnen
StepHypRef Expression
1 difexg 4600 . . . . . 6
2 enrefg 7567 . . . . . 6
31, 2syl 16 . . . . 5
433ad2ant1 1017 . . . 4
5 sneq 4039 . . . . . 6
65difeq2d 3621 . . . . 5
76breq2d 4464 . . . 4
84, 7syl5ibcom 220 . . 3
98imp 429 . 2
10 simpl1 999 . . . . . 6
11 difexg 4600 . . . . . 6
12 enrefg 7567 . . . . . 6
1310, 1, 11, 124syl 21 . . . . 5
14 dif32 3760 . . . . 5
1513, 14syl6breq 4491 . . . 4
16 simpl3 1001 . . . . 5
17 simpl2 1000 . . . . 5
18 en2sn 7615 . . . . 5
1916, 17, 18syl2anc 661 . . . 4
20 incom 3690 . . . . . 6
21 disjdif 3900 . . . . . 6
2220, 21eqtri 2486 . . . . 5
2322a1i 11 . . . 4
24 incom 3690 . . . . . 6
25 disjdif 3900 . . . . . 6
2624, 25eqtri 2486 . . . . 5
2726a1i 11 . . . 4
28 unen 7618 . . . 4
2915, 19, 23, 27, 28syl22anc 1229 . . 3
30 simpr 461 . . . . . 6
3130necomd 2728 . . . . 5
32 eldifsn 4155 . . . . 5
3316, 31, 32sylanbrc 664 . . . 4
34 difsnid 4176 . . . 4
3533, 34syl 16 . . 3
36 eldifsn 4155 . . . . 5
3717, 30, 36sylanbrc 664 . . . 4
38 difsnid 4176 . . . 4
3937, 38syl 16 . . 3
4029, 35, 393brtr3d 4481 . 2
419, 40pm2.61dane 2775 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452   cen 7533
This theorem is referenced by:  domdifsn  7620  domunsncan  7637  enfixsn  7646  infdifsn  8094  cda1dif  8577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537
  Copyright terms: Public domain W3C validator