Theorem difsnen 7619

Description: All decrements of a set are equinumerous. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
difsnen

Proof of Theorem difsnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difexg 4600	. . . . . 6
2		enrefg 7567	. . . . . 6
3	1, 2	syl 16	. . . . 5
4	3	3ad2ant1 1017	. . . 4
5		sneq 4039	. . . . . 6
6	5	difeq2d 3621	. . . . 5
7	6	breq2d 4464	. . . 4
8	4, 7	syl5ibcom 220	. . 3
9	8	imp 429	. 2
10		simpl1 999	. . . . . 6
11		difexg 4600	. . . . . 6
12		enrefg 7567	. . . . . 6
13	10, 1, 11, 12	4syl 21	. . . . 5
14		dif32 3760	. . . . 5
15	13, 14	syl6breq 4491	. . . 4
16		simpl3 1001	. . . . 5
17		simpl2 1000	. . . . 5
18		en2sn 7615	. . . . 5
19	16, 17, 18	syl2anc 661	. . . 4
20		incom 3690	. . . . . 6
21		disjdif 3900	. . . . . 6
22	20, 21	eqtri 2486	. . . . 5
23	22	a1i 11	. . . 4
24		incom 3690	. . . . . 6
25		disjdif 3900	. . . . . 6
26	24, 25	eqtri 2486	. . . . 5
27	26	a1i 11	. . . 4
28		unen 7618	. . . 4
29	15, 19, 23, 27, 28	syl22anc 1229	. . 3
30		simpr 461	. . . . . 6
31	30	necomd 2728	. . . . 5
32		eldifsn 4155	. . . . 5
33	16, 31, 32	sylanbrc 664	. . . 4
34		difsnid 4176	. . . 4
35	33, 34	syl 16	. . 3
36		eldifsn 4155	. . . . 5
37	17, 30, 36	sylanbrc 664	. . . 4
38		difsnid 4176	. . . 4
39	37, 38	syl 16	. . 3
40	29, 35, 39	3brtr3d 4481	. 2
41	9, 40	pm2.61dane 2775	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  cen 7533

This theorem is referenced by:  domdifsn  7620  domunsncan  7637  enfixsn  7646  infdifsn  8094  cda1dif  8577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537