Theorem difsnexi 6608

Description: If the difference of a class and a singleton is a set, the class itself is a set. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
difsnexi

Proof of Theorem difsnexi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . . 5
2		snex 4693	. . . . 5
3		unexg 6601	. . . . 5
4	1, 2, 3	sylancl 662	. . . 4
5		difsnid 4176	. . . . . . 7
6	5	eqcomd 2465	. . . . . 6
7	6	eleq1d 2526	. . . . 5
8	7	adantr 465	. . . 4
9	4, 8	mpbird 232	. . 3
10	9	ex 434	. 2
11		difsn 4164	. . . 4
12	11	eleq1d 2526	. . 3
13	12	biimpd 207	. 2
14	10, 13	pm2.61i 164	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  {csn 4029

This theorem is referenced by:  pmtrdifellem1  16501  pmtrdifellem2  16502  tgdif0  19494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-sn 4030  df-pr 4032  df-uni 4250